Calcule f^{\prime}(x) :
Calcule f^{\prime}(x) usando a regra da cadeia:
f(x)=\ln \left(\tan ^{2}(3 x)+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\tan^{2}(3x)+1\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a um logaritmo e a funções trigonométricas compostas.

Passo 2

Seja
u(x)=\tan^{2}(3x)+1,
então, como f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), vale a regra
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Para achar u'(x), note que
u(x)=\tan^{2}(3x)+1
é a soma de 1 (derivada zero) com \tan^{2}(3x). Usamos a regra da cadeia em \tan^{2}(3x):
\frac{d}{dx}\bigl[\tan^{2}(3x)\bigr] =2\,\tan(3x)\,\frac{d}{dx}[\tan(3x)].

Passo 4

A derivada de \tan(3x) é
\frac{d}{dx}[\tan(3x)] =3\,\operatorname{sec}^{2}(3x).
Logo
u'(x) =2\,\tan(3x)\;\cdot\;3\,\operatorname{sec}^{2}(3x) =6\,\tan(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 5

Substituindo em f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}, obtemos
f'(x) =\frac{6\,\tan(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\tan^{2}(3x)+1}.

Passo 6

Como \tan^{2}(\theta)+1=\operatorname{sec}^{2}(\theta), o denominador se torna \operatorname{sec}^{2}(3x) e simplifica com o numerador:
f'(x) =\frac{6\,\tan(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x)}{\operatorname{sec}^{2}(3x)} =6\,\tan(3x).

Resposta

f'(x)=6\tan(3x)

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