Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=4 \operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{cotg} x
e pede para calcular f^{\prime}(x).
Informações relevantes que temos imediatamente: a função é um produto de fatores trigonométricos multiplicado por uma constante 4. Também é importante lembrar que as funções trigonométricas só estão definidas onde seus denominadores não anulam (por exemplo \sin x\neq0 quando aparecer \csc x, etc.), mas isso só afeta domínio, não o procedimento de diferenciação.

Passo 2

Observação que simplifica muito o trabalho: usar a identidade trigonométrica básica que relaciona \operatorname{sec} e \operatorname{cotg}. Escrevendo em frações:
\operatorname{sec} x\cdot\operatorname{cotg} x=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x}=\csc x,
valendo para os x em que \sin x\neq0. Logo podemos reescrever f de forma simples:
f(x)=4\csc x.
Essa simplificação torna a diferenciação direta e mais limpa.

Passo 3

Aprendendo a derivar \csc x: uma forma didática é escrever \csc x=(\sin x)^{-1} e aplicar a regra da cadeia/potência. Se g(x)=(\sin x)^{-1}, então
g'(x)=-1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot(\sin x)'
onde (\sin x)'=\cos x. Portanto
\frac{d}{dx}\csc x=\frac{d}{dx}(\sin x)^{-1}=-\cos x\cdot(\sin x)^{-2}=-\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Agora reconhecemos que -\dfrac{\cos x}{\sin^{2}x}=-\dfrac{1}{\sin x}\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}=-\csc x\cot x. Assim a fórmula padrão fica:
\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x.

Passo 4

Aplicando a constante 4 e a fórmula obtida: como f(x)=4\csc x, usa-se a linearidade da derivada:
f^{\prime}(x)=4\cdot\frac{d}{dx}\csc x=4\cdot\big(-\csc x\cot x\big)=-4\csc x\cot x.
Essa é uma forma simples e direta do resultado.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para reforçar a compreensão): diferenciar sem simplificar, usando regra do produto. Começando de f(x)=4(\operatorname{sec} x)(\cot x), temos
f'(x)=4\big[(\operatorname{sec} x)'\cot x+\operatorname{sec} x(\cot x)'\big].
Sabendo que (\operatorname{sec} x)'=\operatorname{sec} x\tan x e (\cot x)'=-\csc^{2}x, obtemos
f'(x)=4\big[\operatorname{sec} x\tan x\cdot\cot x-\operatorname{sec} x\csc^{2}x\big]=4\operatorname{sec} x\big(\tan x\cot x-\csc^{2}x\big).
Como \tan x\cot x=1 e \csc^{2}x=1+\cot^{2}x, isto simplifica para
f'(x)=4\operatorname{sec} x\big(1-(1+\cot^{2}x)\big)=4\operatorname{sec} x(-\cot^{2}x)=-4\operatorname{sec} x\cot^{2}x.
Convertendo -4\operatorname{sec} x\cot^{2}x para a forma com \csc e \cot -4\csc x\cot x, que coincide com o resultado do Passo 4, então está consistente.

Resposta

-4\csc x\cot x

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