Calcule a integral de superfície integralegral duplaS f d S, onde a superfície S e a função escalar são dados por:
f(x, y, z)=raiz1+x^2+y^2 e S é o helicoide sigma(u, v)=(u cos v, u sen v, v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS f,dS
onde f(x,y,z)=raiz1+x^2+y^2 e S é o helicoide parametrizado por
sigma(u,v) = (,ucos v,;usin v,;v,), 0<= u<=1,;0<= v<=pi
Vamos precisar de dois ingredientes principais:
  1. Avaliar f ao longo da parametrização, ou seja f(sigma(u,v)).
  2. Calcular o fator de área l|sigmautimessigmavr| e montar
    integral dupla f(sigma(u,v)),l|sigmautimessigmavr|;du,dv

Passo 2

Substituindo x=ucos v e y=usin v em f, obtemos
fl(sigma(u,v)r) =raiz1+(ucos v)^2+(usin v)^2 =raiz1+u^2(cos^2v+sin^2v) =raiz1+u^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
sigmau=(cos v,;sin v,;0), sigmav=(-usin v,;ucos v,;1)
O produto vetorial é
sigmautimessigmav =l(sin v,;-,cos v,;ur),
e sua norma vale
l|sigmautimessigmavr| =raizsin^2v+cos^2v+u^2 =raiz1+u^2

Passo 4

A integral de superfície fica
integral duplaSf,dS =integralv=0^piintegralu=0^1 underbraceraiz1+u^2f(sigma) underbraceraiz1+u^2|sigmautimessigmav| ,du,dv =integral0^piintegral0^1(1+u^2),du,dv

Passo 5

Primeiro integramos em u:
integral0^1(1+u^2),du =l[u+tfracu^33r]0^1 =1+tfrac13 =tfrac43
Em seguida, em v:
integral0^pitfrac43,dv =tfrac43,pi

Resposta

boxed4pi3

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