Calcule f^prime(x): f(x)=4+5 x^2 ln (x)

Passo 1

A função dada é f(x)=4+5x^2ln(x). O conteúdo principal aqui é derivada de soma e derivada de produto, pois temos um termo constante e um termo do tipo x^2ln(x) multiplicado por 5. Para resolver, vamos precisar da regra da soma, da regra do produto e das derivadas ddxx^2=2x e ddxln(x)=1/x.

Passo 2

A derivada do termo constante 4 é zero, ou seja, ddx[4]=0. Então sobrou derivar apenas o termo 5x^2ln(x).

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto em x^2ln(x). Sejam u(x)=x^2 e v(x)=ln(x). Então
ddx[x^2ln(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2xln(x) + x^2cdot1x = 2xln(x) + x

Passo 4

Como temos o fator 5 multiplicando,
ddx[5x^2ln(x)] = 5l(2xln(x) + xr) = 10xln(x) + 5x

Passo 5

Podemos finalmente fatorar 5x para deixar em forma mais compacta:
10xln(x) + 5x = 5xl(2ln(x) + 1r)

Resposta

f'(x)=5xl(2ln(x)+1r)

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