Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
(d) sumn=1^infty 2 n+1n^2(n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede que a gente identifique a série
sumn=1^infty 2n+1n^2(n+1)^2
como série de encaixe (telescópica) ou geométrica e, se convergir, calcule sua soma. Aqui vamos usar a técnica de frações parciais para transformar em série telescópica.

Passo 2

Vamos tentar escrever o termo geral
2n+1n^2(n+1)^2
na forma
An+Bn^2+Cn+1+D(n+1)^2
Multiplicando ambos os lados por n^2(n+1)^2 obtemos a identidade
2n+1 = A,n,(n+1)^2 + B,(n+1)^2 + C,n^2(n+1) + D,n^2

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes em
Dessa forma vem , e então e . Logo

Passo 4

Substituindo na soma parcial até N:
sumn=1^Nl(1n^2-1(n+1)^2r) =l(11^2-12^2r) +l(12^2-13^2r) +cdots +l(1N^2-1(N+1)^2r)
Isso telescopa e sobra
sumn=1^N2n+1n^2(n+1)^2 =1 - 1(N+1)^2
Ao fazer Ntoinfty, o termo tfrac1(N+1)^2 tende a zero.

Resposta

A série é telescópica (série de encaixe) e converge para
1

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