Calcule f^{\prime}(x) :
f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada f'(x) da função dada. Informação fornecida:
f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
A única pergunta é: qual é f'(x)?

Passo 2

Observação útil para começar: podemos reescrever a função como soma com fator constante fora:
f(x)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}.
Usarei duas propriedades básicas de derivadas (uma mini-aula):
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x)\quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x),
onde c é constante e g,h são funções diferenciáveis. Ou seja: constantes saem da derivada e derivada de soma é soma das derivadas.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de e^{x} e de e^{-x}. Regra geral (cadeia/explicação):
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)},
onde u(x) é a função no expoente. Aplicando:
  • Para e^{x}, aqui u(x)=x e u'(x)=1, então
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Para e^{-x}, aqui u(x)=-x e u'(x)=-1, então
\frac{d}{dx}e^{-x}=-1\cdot e^{-x}=-e^{-x}.
Um exemplo extra rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x} porque a derivada do expoente 3x é 3.

Passo 4

Aplicando linearidade (Passo 2) e os resultados do Passo 3 à função reescrita:
f'(x)=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}e^{x}-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}e^{-x}.
Substituindo as derivadas:
f'(x)=\frac{1}{2}\big(e^{x}\big)-\frac{1}{2}\big(-e^{-x}\big).

Passo 5

Simplificando a expressão:
f'(x)=\frac{1}{2}\big(e^{x}+e^{-x}\big)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Observação final amigável: essa função resultante é exatamente a função cosseno hiperbólico \operatorname{cosh} x, ou seja \dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\operatorname{cosh} x, caso você já conheça funções hiperbólicas.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

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