Calcule f^{\prime}(x) :
(f) f(x)=\frac{x+1}{x \ln x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\frac{x+1}{x\ln x}.
Isso envolve aplicar a regra do quociente e usar a derivada de \ln x.

Passo 2

Definimos
u(x)=x+1,\quad v(x)=x\ln x.
Então
u'(x)=1, \qquad v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\ln x\bigr) =\ln x+1.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2} =\frac{1\cdot(x\ln x)-(x+1)\,(\ln x+1)}{(x\ln x)^2}.

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
x\ln x-(x+1)(\ln x+1) =x\ln x-x\ln x-\ln x -x-1 =-(x+1+\ln x).
E escrevemos o denominador como
(x\ln x)^2=x^2(\ln x)^2.
Logo
f'(x) =-\frac{x+1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{x+1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}.

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