Calcule f^{\prime}(x) :
(h) f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}.
O conteúdo aqui é a regra do quociente, que afirma que, para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Escolhemos
u(x)=x^{2} \quad\text{e}\quad v(x)=x^{2}+1.
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u'(x)=2x \quad\text{e}\quad v'(x)=2x.

Passo 3

Aplicando diretamente a regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2x\,(x^{2}+1)-x^{2}\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

No numerador, distribui e simplifica:
2x\,(x^{2}+1)-2x\,x^{2} =2x^{3}+2x-2x^{3} =2x.
Assim
f'(x)=\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\displaystyle\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}

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