Determine
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar
sabendo que a função é
.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos da derivada de ordem
de , ou seja, .
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada para entender o comportamento. Para isso usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
. Aqui
, então
. Aplicando,
Explicando devagar: primeiro derivamos o expoente
que vira
, e multiplicamos pelo próprio
.
Passo 3
Agora a segunda derivada: derivamos
. A constante
sai da derivada (propriedade do fator constante) e aplicamos novamente a regra da cadeia à função
:
Ou seja, cada diferenciação de
traz um fator
.
Passo 4
Terceira derivada para reforçar o padrão:
Já dá para ver um padrão claro: a cada derivada multiplicamos por mais um fator
.
Passo 5
Com base nos passos anteriores, conjecturamos a fórmula geral:
onde
é um inteiro não negativo. Aqui
significa a derivada de ordem
de
;
é a potência de
com expoente
; e
é a função original multiplicada por esse fator.
Passo 6
Agora provamos essa fórmula por indução (um argumento simples e direto que serve para qualquer ordem
).
Base (caso
): por definição
. Como
, temos
logo a fórmula vale para
.
Passo indutivo: suponha que a fórmula valha para algum
, isto é, suponha que
. Então a derivada de ordem
é
Portanto, se a fórmula vale para
vale também para
. Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo inteiro
.
Passo 7
Aplicando a fórmula ao caso pedido, com
, obtemos
Passo 8
Um exemplo extra só para fixar: se tivéssemos
, pelo mesmo raciocínio
. Isso mostra que, para
, a
-ésima derivada é
.