Determine f^{(2023)}(x) :
e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar f^{(2023)}(x) sabendo que a função é f(x)=e^{2x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=e^{2x}.
  • Precisamos da derivada de ordem 2023 de f, ou seja, f^{(2023)}(x).

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada para entender o comportamento. Para isso usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{u(x)} é u'(x)\,e^{u(x)}. Aqui u(x)=2x, então u'(x)=2. Aplicando,
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Explicando devagar: primeiro derivamos o expoente 2x que vira 2, e multiplicamos pelo próprio e^{2x}.

Passo 3

Agora a segunda derivada: derivamos f'(x)=2e^{2x}. A constante 2 sai da derivada (propriedade do fator constante) e aplicamos novamente a regra da cadeia à função e^{2x}:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2e^{2x}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}e^{2x}=2\cdot(2e^{2x})=2^{2}e^{2x}.
Ou seja, cada diferenciação de e^{2x} traz um fator 2.

Passo 4

Terceira derivada para reforçar o padrão:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2^{2}e^{2x}\bigr)=2^{2}\cdot\frac{d}{dx}e^{2x}=2^{2}\cdot(2e^{2x})=2^{3}e^{2x}.
Já dá para ver um padrão claro: a cada derivada multiplicamos por mais um fator 2.

Passo 5

Com base nos passos anteriores, conjecturamos a fórmula geral:
f^{(n)}(x)=2^{n}e^{2x},
onde n é um inteiro não negativo. Aqui f^{(n)} significa a derivada de ordem n de f; 2^{n} é a potência de 2 com expoente n; e e^{2x} é a função original multiplicada por esse fator.

Passo 6

Agora provamos essa fórmula por indução (um argumento simples e direto que serve para qualquer ordem n).
Base (caso n=0): por definição f^{(0)}(x)=f(x)=e^{2x}. Como 2^{0}=1, temos
f^{(0)}(x)=e^{2x}=2^{0}e^{2x},
logo a fórmula vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que a fórmula valha para algum n\ge0, isto é, suponha que f^{(n)}(x)=2^{n}e^{2x}. Então a derivada de ordem n+1 é
f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(f^{(n)}(x)\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(2^{n}e^{2x}\bigr)=2^{n}\cdot\frac{d}{dx}e^{2x}=2^{n}\cdot(2e^{2x})=2^{n+1}e^{2x}.
Portanto, se a fórmula vale para n vale também para n+1. Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo inteiro n\ge0.

Passo 7

Aplicando a fórmula ao caso pedido, com n=2023, obtemos
f^{(2023)}(x)=2^{2023}e^{2x}.

Passo 8

Um exemplo extra só para fixar: se tivéssemos g(x)=e^{3x}, pelo mesmo raciocínio g^{(n)}(x)=3^{n}e^{3x}. Isso mostra que, para e^{ax}, a n-ésima derivada é a^{n}e^{ax}.

Resposta

2^{2023}e^{2x}

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