Calcule f^prime(x) :
f(x)=x+1x ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função f(x) = x+1xln x. O conteúdo envolve a regra do quociente e a derivada do produto xln x.

Passo 2

Para derivar uma função quociente u(x)v(x), utilizamos a regra do quociente:
l(tfracuvr)' = u'v - uv'v^2
Definimos
u(x) = x+1, v(x) = xln x
Derivando cada uma:
u'(x) = 1, v'(x) = ln x + 1

Passo 3

Substituindo na regra do quociente, temos:
f'(x) = 1cdot(xln x) - (x+1)cdot(ln x +1)(xln x)^2
Agora simplificamos o numerador:

Passo 4

Por fim, observamos que (xln x)^2 = x^2(ln x)^2, o que permite reescrever a derivada de forma mais simples.

Resposta

f'(x) = -ln x + x + 1x^2(ln x)^2

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