Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (-1,1) x^2+2 x y^2+y^4x+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ se aproxima de \((-1,1)$. O conteúdo envolvido é limite de funções de várias variáveis e fatoração de polinômios para resolver indeterminações.

Passo 2

Vamos fazer a substituição direta de $x=-1$ e $y=1$ no numerador e no denominador: numerador = $(-1)^2 + 2\cdot(-1)\cdot1^2 + 1^4 = 1 - 2 + 1 = 0$, denominador = $-1 + 1^2 = 0$. Portanto temos a indeterminação $0/0$.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, usamos fatoração. Note que podemos identificar no numerador uma estrutura de quadrado da soma com $a=x$ e $b=y^2$. Assim temos:
a=x

Passo 4

Com isso a expressão original fica
x^2 + 2xy^2 + y^4x + y^2 = (x + y^2)^2x + y^2, x + y^2 neq 0

Passo 5

Podemos cancelar um fator $x + y^2$ (válido para pontos próximos onde $x+y^2$ não seja zero), e a função se simplifica para $x + y^2$.

Passo 6

Agora basta calcular o limite da função simplificada quando $x\to -1$ e $y\to 1$, ou seja: $-1 + 1^2 = 0$.

Resposta

0

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