Calcule os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando $x,y)\ se aproxima de \((-1,1)$. O conteúdo envolvido é limite de funções de várias variáveis e fatoração de polinômios para resolver indeterminações.
Passo 2
Vamos fazer a substituição direta de $x=-1$ e $y=1$ no numerador e no denominador: numerador = $(-1)^2 + 2\cdot(-1)\cdot1^2 + 1^4 = 1 - 2 + 1 = 0$, denominador = $-1 + 1^2 = 0$. Portanto temos a indeterminação $0/0$.
Passo 3
Para resolver a indeterminação, usamos fatoração. Note que podemos identificar no numerador uma estrutura de quadrado da soma com $a=x$ e $b=y^2$. Assim temos:
Passo 4
Com isso a expressão original fica
Passo 5
Podemos cancelar um fator $x + y^2$ (válido para pontos próximos onde $x+y^2$ não seja zero), e a função se simplifica para $x + y^2$.
Passo 6
Agora basta calcular o limite da função simplificada quando $x\to -1$ e $y\to 1$, ou seja: $-1 + 1^2 = 0$.
Resposta
0