Calcule f'(x) onde f(x) é igual a: log_3(2 x) / (3 x)

Passo 1

Vamos calcular a derivada de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas, especificamente a regra do quociente e a derivada de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, identificamos as duas funções que compõem o quociente:
Para derivar , utilizaremos a regra do quociente, que nos ajuda a derivar a divisão de duas funções.

Passo 3

A regra do quociente diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar as derivadas e .

Passo 4

Vamos calcular , que é a derivada de . Usamos a fórmula da derivada de um logaritmo:
Aqui, , então . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, calculamos , que é a derivada de . A derivada de uma função linear como essa é simples:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente com os valores encontrados:
Simplificando:
Podemos fatorar o 3 do numerador:

Resposta

A derivada de f(x) é:

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