Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty :
ly prime prime+y prime-2 y=0 y(0)=1 ; y prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo envolvido é a resolução via equação característica e depois aplicação das condições iniciais, seguido de análise do comportamento da solução quando ttoinfty.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo essa equação de segundo grau encontraremos os autovalores que determinam a forma da solução geral.

Passo 3

A equação
r^2 + r - 2 = 0
fatora-se (ou usa-se a fórmula de Bhaskara) e dá as raízes
r = 1 e r = -2

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
Para aplicar as condições iniciais, calculamos a derivada
Em
Subtraindo a primeira da segunda fica e .

Passo 5

Com C1=1 e C2=0 a solução particular é
y(t) = e^t
Como limttoinftye^t = +infty, a solução cresce exponencialmente sem limite.

Resposta

y(t) = e^t,
que diverge para +infty quando t infty.

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