Escreva os quatro primeiros elementos das sequências das somas parciais das séries numéricas abaixo e determine se elas são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, obtenha as suas somas.
sumn=1^+infty(-1)^n 32^n;

Passo 1

O enunciado pede para escrever os quatro primeiros termos das somas parciais da série sumn=1^infty(-1)^n32^n e determinar se ela converge, obtendo a soma se for convergente. Aqui estamos tratando de séries numéricas, mais especificamente de uma série geométrica alternada.

Passo 2

Definimos a soma parcial Sn=sumk=1^n(-1)^k32^k. Calculando diretamente os quatro primeiros termos temos:
Para n=1:
S1=(-1)^132= -32=-1,5
Para n=2:
S2=S1+(-1)^232^2=-32+34=-34=-0,75
Para n=3:
S3=S2+(-1)^332^3=-34-38=-98=-1,125
Para n=4:
S4=S3+(-1)^432^4=-98+316=-1516=-0,9375

Passo 3

Reconhecemos que an=(-1)^n32^n=3l(-tfrac12r)^n, ou seja, é uma série geométrica de razão r=-tfrac12 com |r|<1. Sabemos que uma série geométrica converge para tfraca11-r quando |r|<1.

Passo 4

Como o primeiro termo é a1=3(-tfrac12)= -tfrac32 e r=-tfrac12, a soma infinita é:
sumn=1^infty3l(-tfrac12r)^n=a11-r=-tfrac321-(-tfrac12)=-tfrac32tfrac32=-1

Resposta

As quatro primeiras somas parciais são
S₁=−1,5, S₂=−0,75, S₃=−1,125 e S₄=−0,9375.
A série converge e sua soma é −1.

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