Mostre que
é estritamente decrescente para
. Conclua que
Passo 1
O exercício pede pra mostrar que a função f definida por
é estritamente decrescente em
e, a partir disso, concluir que
. Vamos usar teste da derivada e propriedades de logaritmo.
Passo 2
Como
, podemos estudar a monotonicidade de
pelo sinal de
. Definimos
Se
em
, então
e
é decrescente.
Passo 3
Aplicamos a regra do quociente para derivar
. Obtém-se
Passo 4
O sinal de
é o mesmo do numerador
. Vamos mostrar que
para todo
. Defina
Passo 5
Note que
e
Passo 6
Como
,
cresce e, portanto,
. Assim
, ou seja,
. Logo
e
, provando que
é estritamente decrescente em
.
Passo 7
Já que
e
decresce, temos
, isto é,
Passo 8
Elevando ambos os lados à potência
, mantemos a desigualdade e obtemos