Mostre que f(x)=(1+x)^1 / x é estritamente decrescente para x>0. Conclua que
(1+pi)^e<(1+e)^pi

Passo 1

O exercício pede pra mostrar que a função f definida por f(x)=(1+x)^1/x é estritamente decrescente em x>0 e, a partir disso, concluir que (1+pi)^e<(1+e)^pi. Vamos usar teste da derivada e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Como f(x)>0, podemos estudar a monotonicidade de f pelo sinal de ln f(x). Definimos g(x)=ln f(x)=ln(1+x)x Se g'(x)<0 em x>0, então f'(x)<0 e f é decrescente.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para derivar g(x). Obtém-se
g'(x)=xcdot11+x-ln(1+x)x^2

Passo 4

O sinal de g'(x) é o mesmo do numerador N(x)=x1+x-ln(1+x). Vamos mostrar que N(x)<0 para todo x>0. Defina
varphi(x)=ln(1+x)-x1+x

Passo 5

Note que varphi(0)=0 e
varphi'(x)=11+x-(1+x)-x(1+x)^2=x(1+x)^2>0(para x>0)

Passo 6

Como varphi'(x)>0, varphi(x) cresce e, portanto, varphi(x)>varphi(0)=0. Assim ln(1+x)>tfracx1+x, ou seja, N(x)<0. Logo g'(x)<0 e f'(x)<0, provando que f é estritamente decrescente em x>0.

Passo 7

Já que pi>e>0 e f decresce, temos f(pi), isto é,
(1+pi)^1/pi<(1+e)^1/e

Passo 8

Elevando ambos os lados à potência pi e>0, mantemos a desigualdade e obtemos
(1+pi)^e< (1+e)^pi

Resposta

(1+pi)^e<(1+e)^pi

Exercícios relacionados