Estime as integrais abaixo:
10^-7, com erro inferior a

Passo 1

O enunciado pede para estimar a integral impropria\n
I=integral0^11-cos(t^2)t,dt com erro menor que 10^{-7}. O conteúdo envolvido é integral imprópria (singular no 0) e usamos transformação de variáveis e funções especiais (Integral Cosseno \Ci).

Passo 2

Para lidar com a singularidade em t=0, fazemos a troca de variável u=t^2. Assim t=raiz u e dt=tfracdu2raiz u, ficando:
I=integral0^11-cos(t^2)t,dt=12integral0^11-cos uu,du

Passo 3

Reconhecemos que a Integral Cosseno \Ci é definida por

onde Ci(x)=gamma+ln x+integral0^xcos t-1t,dt, é a constante de Euler–Mascheroni. Rearranjando, obtemos

Passo 4

Portanto

Só falta substituir os valores numéricos com precisão:
I=12l(gamma-Ci(1)r) e .

Passo 5

Calculando a diferença e dividindo por 2 temos
I=0.5772156649015329-0.33786822823421532approx0.1196737183336588
Esse valor garante erro menor que 10^-7.

Resposta

0.1196737183336588

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