Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.
f(x)=raiz[3]x+xraizx

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a derivada de f(x)=raiz[3]x+xraizx. O conteúdo é derivação de funções envolvendo raízes e potências. Vamos precisar reescrever a função em potências e usar a regra de derivação de potências.

Passo 2

Primeiro simplificamos f(x) reescrevendo raízes como potências. Temos
raiz[3]x=x^tfrac13, raizx=x^tfrac12,
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f(x)=x^tfrac13x^tfrac12+xx^tfrac12=x^tfrac13-tfrac12+x^1-tfrac12=x^-tfrac16+x^tfrac12.

Passo 3

Aplico a derivada termo a termo, usando a regra ddxx^n=n,x^n-1. Assim,
ddxl(x^-tfrac16r)=-tfrac16,x^-tfrac16-1=-tfrac16,x^-tfrac76,
e
ddxl(x^tfrac12r)=tfrac12,x^tfrac12-1=tfrac12,x^-tfrac12.

Passo 4

Somando as derivadas dos termos obtemos
f'(x)=-tfrac16,x^-tfrac76+tfrac12,x^-tfrac12.

Passo 5

Se quisermos, podemos colocar o resultado em uma única fração. Note que tfrac12=3/6 e para obter o mesmo expoente no denominador usamos x^tfrac12=x^tfrac36. Assim,
f'(x)=3,x^tfrac23-16,x^tfrac76

Resposta

f'(x)=3x^2/3-16x^7/6

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