Estime as integrais abaixo:
10^-2, com erro inferior a

Passo 1

O enunciado pede estimar a integral integral0^1lnl(1+t^4r),dt com erro abaixo de 10^-2. Vamos usar a expansão em série de Taylor de ln(1+x) e o critério de séries alternadas para controlar o erro.

Passo 2

A teoria diz que para |x|<=1 temos a expansão
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
Aqui tomamos x=t^4, que satisfaz 0<= t^4<=1, e podemos integrar termo a termo.

Passo 3

Integrando de 0 a 1 cada termo da série:
integral0^1ln(1+t^4),dt =sumn=1^infty(-1)^n-11nintegral0^1t^4n,dt =sumn=1^infty(-1)^n-11n(4n+1)
Essa é uma série alternada de termos an=(-1)^n-1/[n(4n+1)].

Passo 4

Pelo critério de Leibniz (séries alternadas), o erro ao truncar após N termos satisfaz
|RN|<= |aN+1|=1(N+1)(4(N+1)+1)
Queremos |aN+1|<10^-2.

Passo 5

Testando valores de n:
  • n=4 a5=1/(5cdot21)=1/105approx9,52times10^-3<10^-2.
    Portanto basta truncar em N=4.

Passo 6

Agora calculamos a soma parcial até n=4:
S4=11cdot5-12cdot9+13cdot13-14cdot17 =0,2-0,0555556+0,0256410-0,0147059 approx0,15538

Passo 7

Como o próximo termo é menor que 10^-2, essa estimativa satisfaz a exigência de erro.

Resposta

(\approx 0.1554)

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