Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.
f(x)=raiz[3]x+xraizx^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=dfracraiz[3]x+xraizx^2 usando regras de derivação. O conteúdo principal é a regra do quociente, derivada de potências e derivada de |x|. Vamos usar a definição raizx^2=|x| e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos o denominador usando valor absoluto: \
raizx^2=|x|. Definimos \
u(x)=x^1/3+x e \
v(x)=|x|.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v: \
u'(x)=13x^-2/3+1, pois usamos a regra da potência. \
A derivada de v(x)=|x| é \
v'(x)=sgn(x), lembrando que sgn(x)=1 para x>0 e -1 para x<0.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente: \
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2

Passo 5

Substituindo u, u', v, v' na fórmula, obtemos: \
f'(x)=l(tfrac13x^-2/3+1r)|x| - (x^1/3+x)sgn(x)x^2

Passo 6

Agora separamos em dois casos, porque |x| e sgn(x) mudam de sinal:

Passo 7

Para x>0: temos |x|=x e sgn(x)=1. Substituindo, fica \
l(tfrac13x^-2/3+1r)x - (x^1/3+x)cdot1x^2 =tfrac13x^1/3+x - x^1/3-xx^2 =-tfrac23x^1/3x^2 =-23x^-5/3

Passo 8

Para x<0: temos |x|=-x e sgn(x)=-1. Substituindo, fica \
l(tfrac13x^-2/3+1r)(-x) - (x^1/3+x)(-1)x^2 =-tfrac13x^1/3-x + x^1/3+xx^2 =tfrac23x^1/3x^2 =23x^-5/3

Resposta

f'(x)= -dfrac23x^-5/3, & x>0, dfrac23x^-5/3, & x<0

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