Calcule as integrais indefinidas abaixo:
integral x^2 d xraiz2 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida integral x^2raiz2x - x^2,dx. O assunto envolve integrais indefinidas e vamos usar completar o quadrado e substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no termo do radical. Note que
2x - x^2 = 1 - (x-1)^2
Assim, podemos reescrever raiz2x - x^2 como raiz1 - (x-1)^2.

Passo 3

Agora fazemos a substituição trigonométrica definindo x - 1 = sin t. Então:
x = 1 + sin t, dx = cos t,dt, x^2 = (1 + sin t)^2 = 1 + 2sin t + sin^2 t,
raiz2x - x^2 = raiz1 - sin^2 t = cos t

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral x^2raiz2x - x^2,dx = integral 1 + 2sin t + sin^2 tcos t cdot cos t,dt = integral (1 + 2sin t + sin^2 t),dt
Para simplificar, usamos a identidade sin^2 t = tfrac12(1 - cos 2t), o que dá
1 + 2sin t + sin^2 t = 32 + 2sin t - tfrac12cos 2t

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral l(tfrac32 + 2sin t - tfrac12cos 2tr),dt = tfrac32 t - 2cos t - tfrac14sin 2t + C

Passo 6

Por fim, voltamos para x. Como t = arcsin(x-1), cos t = raiz2x - x^2 e sin 2t = 2sin tcos t = 2(x-1)raiz2x - x^2, substituímos na expressão obtida e simplificamos:
F(x) = 32arcsin(x-1) - 2raiz2x - x^2 - 14cdot2(x-1)raiz2x - x^2 + C
Agrupando os termos de raiz2x - x^2 ficamos com
F(x) = 32arcsin(x-1) - x+32raiz2x - x^2 + C

Resposta

32arcsin(x-1) - x+32raiz2x - x^2 + C

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