O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é
onde s é medida em centímetros et em segundos.
a) Encontre a velocidade após
segundos.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
c) Mostre que
. Interprete o significado desse limite.
a) Encontre a velocidade após
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá o movimento da partícula como
e pede: a) a velocidade
; b) os instantes em que
e as posições
nesses instantes; c) mostrar que
e interpretar fisicamente. Vamos usar derivada de produto, solução de equação trigonométrica e limite.
Passo 2
Para achar
, aplicamos a regra do produto em
:
Como
Passo 3
Para encontrar
resolvemos
como
A posição nesses instantes é
$$s(t_k)=2e^{-t_k/2}\sin(t_k).
Passo 4
Para o limite, note que
quando
e
é limitado em
. Logo
Física: devido ao atrito a amplitude vai decaindo e a partícula tende à posição de equilíbrio zero.
Resposta
a)
b) Instantes de repouso: . Posições:
.
c) , indicando que o atrito faz a vibração decair até o ponto de equilíbrio.
b) Instantes de repouso:
c)