O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno. Suponha que a equação do movimento de um ponto sobre essa mola é
s(t)=2 e^-t2 sen(t)
onde s é medida em centímetros et em segundos.
a) Encontre a velocidade após t segundos.
b) Encontre os instantes de tempo nos quais a partícula se encontra em repouso e a respectiva posição nesses instantes.
c) Mostre que lim t infty s(t)=0. Interprete o significado desse limite.

Passo 1

O enunciado dá o movimento da partícula como s(t)=2e^-tfrac t2sin(t) e pede: a) a velocidade v(t)=s'(t); b) os instantes em que v(t)=0 e as posições s(t) nesses instantes; c) mostrar que limttoinftys(t)=0 e interpretar fisicamente. Vamos usar derivada de produto, solução de equação trigonométrica e limite.

Passo 2

Para achar v(t)=s'(t), aplicamos a regra do produto em s(t)=2,e^-t/2sin t:
v(t)=2l((e^-t/2)'sin t + e^-t/2(sin t)'r)
Como (e^-t/2)'=-tfrac12e^-t/2 e (sin t)'=cos t, temos
v(t)=2l(-tfrac12e^-t/2sin t + e^-t/2cos tr)=e^-t/2(2cos t-sin t)

Passo 3

Para encontrar v(t)=0 resolvemos
e^-t/2(2cos t-sin t)=0
como e^-t/2>0, basta 2cos t-sin t=0, ou seja tan t=2. A solução geral é
tk=arctan(2)+kpi, kin Z
A posição nesses instantes é
$$s(t_k)=2e^{-t_k/2}\sin(t_k).
s(tk)=2e^-tk/2sin(tk) s(t_k)=\frac{4(-1)k}{\sqrt5}e{-\tfrac{\arctan(2)+k\pi}{2}}.$$

Passo 4

Para o limite, note que e^-t/2to0 quando ttoinfty e sin t é limitado em [-1,1]. Logo
limttoinftys(t)=limttoinfty2e^-t/2sin t=0
Física: devido ao atrito a amplitude vai decaindo e a partícula tende à posição de equilíbrio zero.

Resposta

a) v(t)=e^-t/2(2cos t-sin t)
b) Instantes de repouso: tk=arctan(2)+kpi. Posições:
s(tk)=dfrac4(-1)^kraiz5e^-tfracarctan(2)+kpi2.
c) limttoinftys(t)=0, indicando que o atrito faz a vibração decair até o ponto de equilíbrio.

Exercícios relacionados