Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

A gente precisa calcular a integral indefinida integral 4x^2 - 3x + 3(x^2 - 2x + 2)(x+1),dx. O conteúdo é fração racional e vamos aproveitar a técnica de decomposição em frações parciais para integrá-la.

Passo 2

Fatoramos o denominador em (x^2 - 2x + 2)(x+1) e propomos a forma
4x^2 - 3x + 3(x^2 - 2x + 2)(x+1) = Ax + Bx^2 - 2x + 2 + Cx+1
Multiplicando ambos os lados por (x^2 - 2x + 2)(x+1), fica
4x^2 - 3x + 3 = (Ax + B)(x+1) + C(x^2 - 2x + 2)
Expandindo e comparando coeficientes em x^2, x e termo constante dá o sistema
A + C = 4, A + B - 2C = -3, B + 2C = 3
Resolvendo, obtemos C = 2, A = 2 e B = -1.

Passo 3

Com esses valores, reescrevemos a integral como
integral 4x^2 - 3x + 3(x^2 - 2x + 2)(x+1),dx = integral 2x - 1x^2 - 2x + 2,dx + 2integral 1x+1,dx
Agora calculamos cada parte separadamente. Primeiro,
integral 2x - 1x^2 - 2x + 2,dx = integral 2x - 2x^2 - 2x + 2,dx + integral 1(x-1)^2 + 1,dx
Na primeira parcela fazemos u = x^2 - 2x + 2, du = (2x - 2),dx e obtemos ln(x^2 - 2x + 2). Na segunda, reconhecemos (x-1)^2+1 e o resultado é arctan(x-1). Já
2integral 1x+1,dx = 2ln|x+1|.

Passo 4

Por fim, juntamos as primitivas de cada pedaço e incluímos a constante de integração C, chegando à antiderivada completa.

Resposta

ln(x^2 - 2x + 2) + arctan(x-1) + 2ln|x+1| + C

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