Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor.
integral-8^8 x d xx^2-9.

Passo 1

O problema pede pra gente analisar a integral imprópria integral-8^8 xx^2-9,dx, vendo se ela converge e, em caso positivo, calcular o valor. O assunto aqui é integral imprópria com singularidades (pólos) no denominador.

Passo 2

A função integrando é f(x)=xx^2-9. Note que o denominador se anula em x=3 e x=-3, que estão dentro do intervalo de integração [-8,8]. Isso faz a integral ser imprópria do tipo IIA, e temos que quebrar o intervalo em três partes:
[-8,-3), (-3,3) e (3,8]. Se qualquer uma dessas integrar de forma divergente, toda a integral diverge.

Passo 3

Para encontrar a primitiva, fazemos a substituição u=x^2-9, de modo que du=2x,dx e x,dx=du/2. Assim,
integral xx^2-9,dx=12integral duu=12lnl|ur|+C=12lnl|x^2-9r|+C

Passo 4

Agora, vamos estudar o limite da primitiva quando x se aproxima de uma singularidade, digamos xto3^-. Temos x^2-9to0^+, então
12lnl|x^2-9r|xrightarrow[xto3^-]-infty

Passo 5

Isso mostra que pelo menos o trecho integral-8^3 xx^2-9,dx (e consequentemente o trecho até 8) diverge, pois a primitiva tende a -infty ao alcançar x=3.
Como há divergência em uma das partes, a integral imprópria original não converge.

Resposta

A integral diverge.

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