Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor. .
Passo 1
O problema pede pra gente analisar a integral imprópria , vendo se ela converge e, em caso positivo, calcular o valor. O assunto aqui é integral imprópria com singularidades (pólos) no denominador.
Passo 2
A função integrando é . Note que o denominador se anula em e , que estão dentro do intervalo de integração . Isso faz a integral ser imprópria do tipo IIA, e temos que quebrar o intervalo em três partes: , e . Se qualquer uma dessas integrar de forma divergente, toda a integral diverge.
Passo 3
Para encontrar a primitiva, fazemos a substituição , de modo que e . Assim,
Passo 4
Agora, vamos estudar o limite da primitiva quando x se aproxima de uma singularidade, digamos xto3^-. Temos x^2-9to0^+, então
12lnl|x^2-9r|xrightarrow[xto3^-]-infty
Passo 5
Isso mostra que pelo menos o trecho integral-8^3 xx^2-9,dx (e consequentemente o trecho até 8) diverge, pois a primitiva tende a -infty ao alcançar x=3.
Como há divergência em uma das partes, a integral imprópria original não converge.