Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.
f(x)=sec x3 x+2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=sec x3x+2,x. O conteúdo principal aqui é aplicação de regras de derivação: produto, cadeia e derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro a gente reescreve f(x) como produto para facilitar: f(x)=xsec x,(3x+2)^-1 Assim podemos usar a regra do produto entre u(x)=xsec x e v(x)=(3x+2)^-1

Passo 3

Agora derivamos u(x)=xsec x. Aplicando regra do produto e sabendo que ddx(sec x)=sec xtan x, temos: u'(x)=1cdotsec x + xcdot(sec xtan x)=sec x + xsec xtan x

Passo 4

Em seguida derivamos v(x)=(3x+2)^-1. Isso é cadeia: v(x)=w^-1 com w=3x+2, então v'=-1,w^-2cdot w'=-1,(3x+2)^-2cdot3=-3(3x+2)^2

Passo 5

Aplicamos a regra do produto para f'=u'v+u,v': f'(x)=l(sec x + xsec xtan xr),(3x+2)^-1 + xsec xcdotl(-3(3x+2)^2r)

Passo 6

Por fim, colocamos tudo sobre o mesmo denominador (3x+2)^2 e fatoramos sec x:
f'(x)=sec xl(1 + xtan xr)(3x+2) -3xsec x(3x+2)^2 = sec xl(2 + xtan x(3x+2)r)(3x+2)^2

Resposta

f'(x)=sec xl(2 + xtan x(3x+2)r)(3x+2)^2

Exercícios relacionados