Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.
f(x)=tg x+5 cossec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma soma de funções trigonométricas: f(x)=tan x + 5,csc x. Vamos usar a regra da soma, a derivada de tan x e a derivada de csc x, multiplicada pela constante.

Passo 2

Para tan x, a regra é: a derivada de tan u é sec^2 u vezes a derivada de u. Aqui u=x, então
ddx(tan x)=sec^2 x.

Passo 3

Para 5,csc x, extraímos a constante 5 e derivamos csc x. A regra diz que
ddx(csc x)=-csc xcot x.
Multiplicando pela constante 5,
ddx(5,csc x)=5cdot(-csc xcot x)=-5,csc xcot x.

Passo 4

Agora somamos as derivadas de cada termo sem esquecer a regra da soma:
f'(x)=sec^2 x - 5,csc xcot x.

Resposta

f'(x)=sec^2 x - 5csc x cot x

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