Calcule as seguintes integrais:
2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrall(2x + 3x + 4x^2r),dx. O conteúdo aqui é técnicas de integração de funções polinomiais e de potências de x, incluindo o caso x^-1.

Passo 2

Vamos separar a integral em três partes usando a linearidade da integração: integrall(2x + tfrac3x + tfrac4x^2r),dx = integral 2x,dx + integral tfrac3x,dx + integral tfrac4x^2,dx

Passo 3

Para a primeira parte, usamos que integral x^n,dx = tfracx^n+1n+1 + C. Logo, integral 2x,dx = 2 cdot tfracx^22 = x^2

Passo 4

Na segunda parte, lembramos que integral tfrac1x,dx = ln|x| + C. Assim, integral tfrac3x,dx = 3ln|x| = 3ln(x)(x>0)

Passo 5

Para a terceira parte, reescrevemos tfrac4x^2 = 4x^-2 e aplicamos a fórmula de potências: integral 4x^-2,dx = 4 cdot tfracx^-1-1 = -tfrac4x

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a resposta final.

Resposta

x^2 + 3ln(x) - tfrac4x + C

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