Calcule f^prime(x) usando as regras de derivação.
f(x)=3-xx ln x

Passo 1

Temos a função f(x)=3-xxln x. O conteúdo principal é derivação de quociente, então vamos usar a regra do quociente e também a derivada de xln x, que envolve a regra do produto e a derivada de ln x.

Passo 2

Definimos g(x)=3-x e h(x)=xln x. Assim, usando derivada de polinômio e produto, obtemos:
g'(x)=-1
Para h'(x), aplicamos a regra do produto em xln x:
h'(x)=ddx(x)cdotln x + xcdotddx(ln x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x+1

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=g'(x)cdot h(x)-g(x)cdot h'(x)[h(x)]^2=(-1)(xln x)-(3-x)(ln x+1)(xln x)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Começamos com
-xln x-(3-x)(ln x+1)
Expandindo:
-xln x-3ln x-3 + xln x + x
Os termos -xln x e xln x se anulam, sobrando
x-3ln x-3
Portanto,
f'(x)=x-3ln x-3(xln x)^2

Resposta

f'(x)=x-3ln x-3(xln x)^2

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