Calcule f^{\prime}(x, y) sendo f(x, y) igual a:
\operatorname{arcsen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede calcular f'(x,y) para a função
f(x,y)=\arcsin(xy).
Aqui f'(x,y) significa o vetor gradiente, isto é, as derivadas parciais em relação a x e a y. Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de \arcsin.

Passo 2

Lembrando que, para uma função univariante u\mapsto \arcsin(u), vale
\frac{d}{du}\arcsin(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Isso é a peça-chave da regra da cadeia.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, façamos u=xy. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{du}\arcsin(u)\,\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy) =\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\;\cdot y =\frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2}}.

Passo 4

De forma análoga, para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} usamos o mesmo u=xy:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{\sqrt{1-(xy)^2}}\;\cdot x =\frac{x}{\sqrt{1-x^2y^2}}.

Resposta

f'(x,y) =\biggl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\biggr) =\biggl(\frac{y}{\sqrt{1-x^2y^2}},\,\frac{x}{\sqrt{1-x^2y^2}}\biggr).

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