Seja \left(a_{n}\right) construída pelo processo de indução de modo que a_{1}=\sqrt{2}, a_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}, \ldots, a_{n-1}= \sqrt{2+a_{n}}. Mostre que \left(a_{n}\right) é convergente com limite 2 .

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por
a_1 = \sqrt{2}, \quad \text{e para todo }n\ge2:\;a_n = \sqrt{2 + a_{n-1}}.
Queremos mostrar que (a_n) converge e que seu limite é 2. Para isso, vamos (1) provar por indução que (a_n) é crescente, (2) provar que (a_n) é limitada superiormente por 2, (3) aplicar o Teorema da Convergência Monótona e (4) determinar o limite resolvendo a equação assintótica.

Passo 2

Provar que (a_n) é crescente, isto é, que a_{n+1}>a_n para todo n\ge1.
Base ( n=1):
a_2 = \sqrt{2 + \sqrt{2}} > \sqrt{2} = a_1,
já que 2 + \sqrt{2}>2.
Passo indutivo: suponha a_n>a_{n-1}. Então
a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} > \sqrt{2 + a_{n-1}} = a_n.
Logo, por indução, (a_n) é estritamente crescente.

Passo 3

Provar que (a_n) é limitada superiormente por 2, isto é, a_n<2 para todo n.
Base ( n=1):
a_1 = \sqrt{2} < 2.
Passo indutivo: suponha a_n<2. Então
a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + 2} = 2.
Assim, por indução, a_n<2 para todo n. Portanto (a_n) está presa em [\sqrt{2},2).

Passo 4

Convergência e valor do limite. Como (a_n) é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge para algum L\le2. Fazendo n\to\infty na relação de recorrência,
L = \sqrt{2 + L}.
Elevando ao quadrado,
L^2 = 2 + L \;\Longrightarrow\; L^2 - L - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (L-2)(L+1)=0.
Como todos os a_n>0, só cabe L=2.

Resposta

O limite da sequência (a_n) é 2.

Exercícios relacionados