Seja
construída pelo processo de indução de modo que
. Mostre que
é convergente com limite 2 .
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Queremos mostrar que
converge e que seu limite é
. Para isso, vamos (1) provar por indução que
é crescente, (2) provar que
é limitada superiormente por
, (3) aplicar o Teorema da Convergência Monótona e (4) determinar o limite resolvendo a equação assintótica.
Passo 2
Provar que
é crescente, isto é, que
para todo
.
Base ( ):
Base (
já que
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
Logo, por indução,
é estritamente crescente.
Passo 3
Provar que
é limitada superiormente por
, isto é,
para todo
.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Então
Assim, por indução,
para todo
. Portanto
está presa em
.
Passo 4
Convergência e valor do limite. Como
é crescente e limitada superiormente, pelo Teorema da Convergência Monótona ela converge para algum
. Fazendo
na relação de recorrência,
Elevando ao quadrado,
Como todos os
, só cabe
.
Resposta
O limite da sequência
é
.