Subdivida a região
em regiões menores, a fim de que possa organizar a integral
possa ser resolvida a partir de regiões de tipo I ou II.
A região entre as retas
e
.
A região entre as retas
Passo 1
O enunciado pede que a gente divida a região
em pedaços que sejam regiões de tipo I (fixando
primeiro) ou de tipo II (fixando
primeiro). Para isso, vamos primeiro encontrar os vértices desse triângulo que formam as fronteiras.
Passo 2
Encontremos as interseções das retas:
.
com
:
resolvendo dá
, logo
. Vértice
.
.
com
:
resolvendo
daí
. Vértice
.
.
com
:
daí
. Vértice
.
O triângulo
é a região
.
Passo 3
Para representar
como região de tipo I (isto é, variando
para cada
), note que o limite inferior muda em
:
- Para
, a aresta de baixo é . - Para
, a aresta de baixo é .
Em ambos os casos, a aresta de cima é sempre.
Logo subdividimos em
Em cada
a integral
é do tipo I com externamente e
internamente.
é do tipo I com
Passo 4
Para representar
como região de tipo II (isto é, variando
para cada
), note que o limite direito muda em
:
- Para
, as bordas laterais são (vindo de ) e (de ). - Para
, as bordas laterais são e (de ).
Então definimos
Em cada
a integral
é do tipo II com externamente e
internamente.
é do tipo II com
Resposta
Como tipo I, divida em
Como tipo II, divida em