Subdivida a região R em regiões menores, a fim de que possa organizar a integral
\iint_{R} f(x, y) d A
possa ser resolvida a partir de regiões de tipo I ou II.
A região entre as retas y=-2 x, y=x e y=-\frac{x}{2}+3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente divida a região
R=\{(x,y)\mid y=-2x,\;y=x,\;y=-\tfrac x2+3\}
em pedaços que sejam regiões de tipo I (fixando x primeiro) ou de tipo II (fixando y primeiro). Para isso, vamos primeiro encontrar os vértices desse triângulo que formam as fronteiras.

Passo 2

Encontremos as interseções das retas:
1. y=-2x com y=x:
resolvendo -2x=x x=0, logo y=0. Vértice A=(0,0).
2. y=-2x com y=-\tfrac x2+3:
-2x=-\tfrac x2+3 \;\Longrightarrow\;-4x=-x+6 \;\Longrightarrow\;-3x=6 \;\Longrightarrow\;x=-2,
daí y=-2(-2)=4. Vértice B=(-2,4).
3. y=x com y=-\tfrac x2+3:
x=-\tfrac x2+3 \;\Longrightarrow\;\tfrac32\,x=3 \;\Longrightarrow\;x=2,
daí y=2. Vértice C=(2,2).
O triângulo ABC é a região R.

Passo 3

Para representar R como região de tipo I (isto é, variando y para cada x), note que o limite inferior muda em x=0:
  • Para -2 \le x\le 0, a aresta de baixo é y=-2x.
  • Para 0\le x\le 2, a aresta de baixo é y=x.
    Em ambos os casos, a aresta de cima é sempre y=-\tfrac x2+3.
    Logo subdividimos em
R_1 = \bigl\{(x,y)\mid -2\le x\le 0,\;-2x\le y\le -\tfrac x2+3\bigr\},
R_2 = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;x\le y\le -\tfrac x2+3\bigr\}.
Em cada R_i a integral
\iint_{R_i}f(x,y)\,dA
é do tipo I com x externamente e y internamente.

Passo 4

Para representar R como região de tipo II (isto é, variando x para cada y), note que o limite direito muda em y=2:
  • Para 0\le y\le 2, as bordas laterais são x=-\tfrac y2 (vindo de y=-2x) e x=y (de y=x).
  • Para 2\le y\le 4, as bordas laterais são x=-\tfrac y2 e x=6-2y (de y=-\tfrac x2+3 \Rightarrow x=6-2y).
    Então definimos
S_1=\bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le 2,\,-\tfrac y2\le x\le y\bigr\},
S_2=\bigl\{(x,y)\mid 2\le y\le 4,\,-\tfrac y2\le x\le 6-2y\bigr\}.
Em cada S_j a integral
\iint_{S_j}f(x,y)\,dA
é do tipo II com y externamente e x internamente.

Resposta

Como tipo I, divida em
R_1:\;-2\le x\le0,\;-2x\le y\le -\tfrac x2+3 \quad\text{e}\quad R_2:\;0\le x\le2,\;x\le y\le -\tfrac x2+3.
Como tipo II, divida em
S_1:\;0\le y\le2,\,-\tfrac y2\le x\le y \quad\text{e}\quad S_2:\;2\le y\le4,\,-\tfrac y2\le x\le6-2y.

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