Cálculo de derivada da função composta - Encontre as derivadas a seguir utilizando-se da fórmula a seguir
Regra da cadeia para derivadas:
Se y=f(u) e u=g(x), então a derivada de y em relação a x é dada por:
d yd x=d yd u cdot d ud x
dd x(e^sin (x))

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada de e^sin(x) usando a regra da cadeia. O conteúdo envolvido é a derivação de exponencial composta e a diferenciação de seno, e vamos precisar saber que a derivada de e^u em relação a u é e^u e que a derivada de sin(x) em relação a x é cos(x).

Passo 2

Definimos a função interna u=sin(x) e a função externa y=e^u. Primeiro, derivamos y em relação a u:
dydu=ddue^u=e^u

Passo 3

Agora derivamos u=sin(x) em relação a x:
dudx=ddxsin(x)=cos(x)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia dydx=dyducdotdudx e substituindo os resultados acima, temos:
dydx=e^ucdotcos(x)
Por fim, voltamos a escrever u=sin(x) para obter a fórmula final.

Resposta

e^sin(x)cos(x)

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