Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+6 y=1-e^{t} ;\quad y(0)=0 ;\quad y^{\prime}(0)=0
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+6 y=1-e^{t} ;\quad y(0)=0 ;\quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
O conteúdo principal é usar propriedades da transformada de Laplace para converter a EDO numérica em álgebra, resolver para
e depois inverter a transformada.
Passo 2
Aplicando
a cada termo, lembrando
e
,
temos
e
temos
Logo
isto é
Passo 3
Escrevemos
Para inverter cada fração, fazemos decomposição em frações parciais.
Passo 4
- Para
obtemos
- Para
obtemos
Assim
Calculando o numerador da última fração e completando quadrado em
, chega-se a
Passo 5
Invertendo termo a termo, usando
,
,
,
,
obtém-se
obtém-se
Simplificando
, concluímos: