Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+6 y=1-e^{t} ;\quad y(0)=0 ;\quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 6y = 1 - e^t, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo principal é usar propriedades da transformada de Laplace para converter a EDO numé­rica em álgebra, resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} a cada termo, lembrando
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)
e
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s),
temos
s^2Y(s)+4\,sY(s)+6Y(s) =\mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{e^t\} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1}.
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Y(s)\bigl(s^2+4s+6\bigr) =\frac{1}{s}-\frac{1}{s-1},
isto é
Y(s) =\frac{\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s-1}}{s^2+4s+6}.

Passo 3

Escrevemos
Y(s) =\frac{1}{s\,(s^2+4s+6)} -\frac{1}{(s-1)\,(s^2+4s+6)}.
Para inverter cada fração, fazemos decomposição em frações parciais.

Passo 4

  1. Para \dfrac{1}{s(s^2+4s+6)} obtemos
\frac{1}{s(s^2+4s+6)} =\frac{1/6}{s} +\frac{-\tfrac{1}{6}s-\tfrac{2}{3}}{s^2+4s+6}.
  1. Para \dfrac{1}{(s-1)(s^2+4s+6)} obtemos
\frac{1}{(s-1)(s^2+4s+6)} =\frac{1/11}{s-1} +\frac{-\tfrac{1}{11}s-\tfrac{5}{11}}{s^2+4s+6}.
Assim
Y(s) =\frac{1/6}{s}-\frac{1/11}{s-1} +\frac{\bigl(-\tfrac{1}{6}s-\tfrac{2}{3}\bigr) -\bigl(-\tfrac{1}{11}s-\tfrac{5}{11}\bigr)} {s^2+4s+6}.
Calculando o numerador da última fração e completando quadrado em s^2+4s+6=(s+2)^2+2, chega-se a
Y(s) =\frac{1}{6}\,\frac{1}{s} -\frac{1}{11}\,\frac{1}{s-1} -\frac{5}{66}\,\frac{s+2}{(s+2)^2+2} -\frac{2}{33}\,\frac{1}{(s+2)^2+2}.

Passo 5

Invertendo termo a termo, usando
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1,
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\}=e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s+2}{(s+2)^2+2}\}=e^{-2t}\cos(\sqrt{2}\,t),
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+2)^2+2}\}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-2t}\sin(\sqrt{2}\,t),
obtém-se
y(t) =\frac{1}{6} -\frac{1}{11}e^{t} -\frac{5}{66}\,e^{-2t}\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) -\frac{2}{33}\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,e^{-2t}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr).
Simplificando \tfrac{2}{33\sqrt{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{33}, concluímos:

Resposta

\boxed{ y(t) =\frac{1}{6} -\frac{1}{11}e^{t} -\frac{5}{66}\,e^{-2t}\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) -\frac{\sqrt{2}}{33}\,e^{-2t}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) }.

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