Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+9 y=e^{t} ;\quad y(0)=0 ;\quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' + 9\,y = e^t, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é a aplicação da transformada de Laplace em equações diferenciais lineares de 2º ordem com condições iniciais, usando as fórmulas
\mathcal L\{y''\} = s^2Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
\mathcal L\{y\} = Y(s) e \mathcal L\{e^t\} = 1/(s-1).

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' + 9\,y = e^t.
Isso dá
\mathcal L\{y''\} + 9\,\mathcal L\{y\} = \mathcal L\{e^t\}.
Usando y(0)=0 e y'(0)=0, vem
s^2Y(s) + 9\,Y(s) = \frac{1}{s-1}.

Passo 3

Isolo Y(s):
Y(s)\,\bigl(s^2+9\bigr) = \frac{1}{s-1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{(s-1)\,(s^2+9)}.

Passo 4

Faço a decomposição em frações parciais
\frac{1}{(s-1)(s^2+9)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B\,s + C}{s^2+9}.
Multiplicando em comum denominador e igualando coeficientes, obtém-se
A = \tfrac{1}{10},\quad B = -\tfrac{1}{10},\quad C = -\tfrac{1}{10}.
Logo
Y(s) = \frac{1/10}{s-1} - \frac{1/10\,s}{s^2+9} - \frac{1/10}{s^2+9}.

Passo 5

Aplico a transformada inversa termo a termo:
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s-1}\Bigr\} = e^t, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s}{s^2+9}\Bigr\} = \cos(3t), \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s^2+9}\Bigr\} = \tfrac{1}{3}\sin(3t).
Portanto
y(t) = \frac{1}{10}e^t - \frac{1}{10}\cos(3t) - \frac{1}{10}\,\frac{1}{3}\sin(3t) = \frac{1}{10}e^t - \frac{1}{10}\cos(3t) - \frac{1}{30}\sin(3t).

Resposta

y(t) = \frac{1}{10}e^t \;-\; \frac{1}{10}\cos(3t)\;-\;\frac{1}{30}\sin(3t).

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