Calcule:
f(0), f(1), f(2) e f(\sqrt{2}) se existirem, sendo f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f(0),\; f(1),\; f(2) e f(\sqrt{2}) quando existirem, sendo dada a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f é \dfrac{x}{x^{2}-1}.
  • Uma observação importante para qualquer avaliação: a função só está definida onde o denominador é diferente de zero, ou seja, onde x^{2}-1\neq0.
  • Resolvend o denominador igual a zero: x^{2}-1=0 implica x=\pm 1. Logo, em x=1 e x=-1 o denominador é zero e a função NÃO está definida nesses pontos.

Passo 2

Avaliar f(0) por substituição direta: substituir x=0 na expressão de f.
f(0)=\frac{0}{0^{2}-1}=\frac{0}{-1}.
Relembrando uma propriedade básica: 0 dividido por qualquer número diferente de zero vale 0. Como o denominador aqui é -1\neq0, a divisão é válida e
f(0)=0.

Passo 3

Avaliar f(1) por substituição direta: substituir x=1.
f(1)=\frac{1}{1^{2}-1}=\frac{1}{0}.
Divisão por zero não é definida na aritmética padrão (não existe um número que multiplicado por 0 1). Portanto a expressão \dfrac{1}{0} não faz sentido e a função não está definida em x=1. Assim:
f(1)\\ \text{não existe (ou não está definida)}.ããá

Passo 4

Avaliar f(2) por substituição direta: substituir x=2.
f(2)=\frac{2}{2^{2}-1}=\frac{2}{4-1}=\frac{2}{3}.
O denominador 3 é diferente de zero, então a avaliação é válida e já está na forma simplificada:
f(2)=\frac{2}{3}.

Passo 5

Avaliar f(\sqrt{2}) por substituição direta: substituir x=\sqrt{2}.
f(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{2}-1}=\frac{\sqrt{2}}{2-1}=\frac{\sqrt{2}}{1}.
Dividir por 1 não altera o valor, logo
f(\sqrt{2})=\sqrt{2}.

Resposta

f(0)=0
f(1) não existe
f(2)=\dfrac{2}{3}
f(\sqrt{2})=\sqrt{2}

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