Encontre
e
e seus respectivos domínios para as seguintes funções.
e
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede quatro composições e os respectivos domínios. As informações que temos são:
-
. -
.
As perguntas são: encontrar, , e e determinar o domínio de cada uma dessas funções.
Passo 2
Entendendo o que é composição de funções (uma mini-aula rápida e concreta).
- Definição: dada duas funções
e , a composição é a função que manda para . - Regra de domínio para composição: o domínio de
é
Isto significa: primeiro
tem que fazer sentido para
; depois o valor
obtido tem que fazer sentido como entrada de
.
- Agora, verificar os domínios das funções dadas:
-
é um polinómio (reta) — definida para todo número real. Logo . -
é a função cosseno — definida para todo número real. Logo .
-
Como ambas têm domínio
, a verificação da condição de domínio para composições fica simples: basta checar se o valor da função interior sempre pertence ao domínio da função exterior.
Passo 3
Calcular
.
- Primeiro substitui-se
na fórmula de :
- Como
, temos
- Domínio:
e para todo . Portanto
(Dica prática para prova: sempre que a função exterior aceita qualquer real como entrada — como um polinômio ou uma exponencial — e a interior é real-para-real, o domínio da composição costuma ser o domínio da função interior.)
Passo 4
Calcular
.
- Substitui-se
na fórmula de :
- Como
, fica
- Domínio:
e para todo temos . Logo
Passo 5
Calcular
.
- Substitui
dentro de :
- Usando
:
- Fazer as contas passo a passo:
- Domínio:
aceita qualquer real, então .
Passo 6
Calcular
.
- Substitui
dentro de :
- Domínio:
. Além disso, para todo vale , e como , a condição é satisfeita para todo . Portanto
- Observação útil (para compreensão): a imagem de
é , então só assume valores com , ou seja a imagem de é o intervalo porque atinge máximo em e mínimo em dentro desse intervalo. Isso não era pedido, mas ajuda a entender comportamento da composição.