Encontre f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g e seus respectivos domínios para as seguintes funções.
f(x)=1-3 x e g(x)=\cos (x).

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede quatro composições e os respectivos domínios. As informações que temos são:
  • f(x)=1-3x.
  • g(x)=\cos(x).
    As perguntas são: encontrar (f\circ g)(x), (g\circ f)(x), (f\circ f)(x) e (g\circ g)(x) e determinar o domínio de cada uma dessas funções.

Passo 2

Entendendo o que é composição de funções (uma mini-aula rápida e concreta).
  • Definição: dada duas funções f e g, a composição f\circ g é a função que manda x para f(g(x)).
  • Regra de domínio para composição: o domínio de f\circ g é
\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.
Isto significa: primeiro x tem que fazer sentido para g; depois o valor g(x) obtido tem que fazer sentido como entrada de f.
  • Agora, verificar os domínios das funções dadas:
    • f(x)=1-3x é um polinómio (reta) — definida para todo número real. Logo \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}.
    • g(x)=\cos(x) é a função cosseno — definida para todo número real. Logo \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}.
Como ambas têm domínio \mathbb{R}, a verificação da condição de domínio para composições fica simples: basta checar se o valor da função interior sempre pertence ao domínio da função exterior.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Primeiro substitui-se g(x) na fórmula de f:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=1-3\bigl(g(x)\bigr).
  • Como g(x)=\cos(x), temos
(f\circ g)(x)=1-3\cos(x).
  • Domínio: \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R} e g(x)=\cos(x)\in\mathbb{R}=\operatorname{Dom}(f) para todo x. Portanto
\operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.
(Dica prática para prova: sempre que a função exterior aceita qualquer real como entrada — como um polinômio ou uma exponencial — e a interior é real-para-real, o domínio da composição costuma ser o domínio da função interior.)

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Substitui-se f(x) na fórmula de g:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=\cos\bigl( f(x)\bigr).
  • Como f(x)=1-3x, fica
(g\circ f)(x)=\cos(1-3x).
  • Domínio: \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R} e para todo x temos f(x)=1-3x\in\mathbb{R}=\operatorname{Dom}(g). Logo
\operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)).
  • Substitui f(x) dentro de f:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=1-3\bigl(f(x)\bigr).
  • Usando f(x)=1-3x:
(f\circ f)(x)=1-3(1-3x).
  • Fazer as contas passo a passo:
1-3(1-3x)=1-3+9x=-2+9x.
  • Domínio: f aceita qualquer real, então \operatorname{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)).
  • Substitui g(x) dentro de g:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=\cos\bigl(\cos(x)\bigr).
  • Domínio: \operatorname{Dom}(g)=\mathbb{R}. Além disso, para todo x vale \cos(x)\in[-1,1], e como [-1,1]\subset\mathbb{R}=\operatorname{Dom}(g), a condição g(x)\in\operatorname{Dom}(g) é satisfeita para todo x. Portanto
\operatorname{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.
  • Observação útil (para compreensão): a imagem de \cos(x) é [-1,1], então \cos(\cos x) só assume valores \cos(y) com y\in[-1,1], ou seja a imagem de \cos\circ\cos é o intervalo [\cos(1),1] porque \cos atinge máximo 1 em y=0 e mínimo em |y|=1 dentro desse intervalo. Isso não era pedido, mas ajuda a entender comportamento da composição.

Resposta

(f\circ g)(x)=1-3\cos(x),\\ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb{R}
(g\circ f)(x)=\cos(1-3x),\\ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}
(f\circ f)(x)=-2+9x,\\ \operatorname{Dom}(f\circ f)=\mathbb{R}
(g\circ g)(x)=\cos(\cos x),\\ \operatorname{Dom}(g\circ g)=\mathbb{R}

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