Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
: verificar se é par ou ímpar e, se for par ou ímpar, explicar que tipo de simetria aparece no gráfico. Informação dada: a função é
, definida para todo
.
Passo 2
Definições e método prático (a aula curta que precisa para a prova):
- Uma função
é par se vale para todo do domínio. Graficamente, isso significa simetria em relação ao eixo : para cada ponto no gráfico também está . - Uma função
é ímpar se vale para todo do domínio. Graficamente, isso significa simetria em relação à origem: para cada ponto no gráfico também está .
Método rápido na prova: calculare comparar com . Se der igualdade, é par; se der sinal trocado, é ímpar; se não for nem igual nem sinal-trocado, é nenhuma das duas.
Passo 3
Calcule
explicitamente:
Usando a propriedade de potências,
. Portanto
Passo 4
Comparando com
:
Como a igualdade
vale para todo
, concluímos que
é uma função par.
Passo 5
Explicação da simetria no gráfico (como escrever na prova e interpretar visualmente):
- Por ser par, o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo . Isso significa que o ramo do gráfico para é um espelho, refletido verticalmente, do ramo para . - Exemplos concretos:
e — mesmos para e . Em geral, os pontos e aparecem aos pares. - Observação útil para a prova: expressões que dependem apenas de
(ou de potências pares de , ou de ) costumam gerar funções pares.
Passo 6
Rápida verificação extra (descartando ímparidade): para ser ímpar seria necessário
, ou seja
, o que implicaria
— impossível. Logo, não é ímpar.
Resposta
A função
é par — simetria em relação ao eixo
.