Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
f(x)=e^{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x)=e^{x^{2}}: verificar se é par ou ímpar e, se for par ou ímpar, explicar que tipo de simetria aparece no gráfico. Informação dada: a função é f(x)=e^{x^{2}}, definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Definições e método prático (a aula curta que precisa para a prova):
  • Uma função f é par se vale \,f(-x)=f(x)\, para todo x do domínio. Graficamente, isso significa simetria em relação ao eixo y: para cada ponto (x,y) no gráfico também está (-x,y).
  • Uma função f é ímpar se vale \,f(-x)=-f(x)\, para todo x do domínio. Graficamente, isso significa simetria em relação à origem: para cada ponto (x,y) no gráfico também está (-x,-y).
    Método rápido na prova: calcular f(-x) e comparar com f(x). Se der igualdade, é par; se der sinal trocado, é ímpar; se não for nem igual nem sinal-trocado, é nenhuma das duas.

Passo 3

Calcule f(-x) explicitamente:
f(-x)=e^{(-x)^{2}}.
Usando a propriedade de potências, (-x)^{2}=(-1)^{2}x^{2}=x^{2}. Portanto
f(-x)=e^{x^{2}}..

Passo 4

Comparando com f(x):
f(-x)=e^{x^{2}}=f(x).
Como a igualdade \,f(-x)=f(x)\, vale para todo x, concluímos que f é uma função par.

Passo 5

Explicação da simetria no gráfico (como escrever na prova e interpretar visualmente):
  • Por ser par, o gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y. Isso significa que o ramo do gráfico para x>0 é um espelho, refletido verticalmente, do ramo para x<0.
  • Exemplos concretos: (1,f(1))=(1,e^{1}) e (-1,f(-1))=(-1,e^{1}) — mesmos y para x e -x. Em geral, os pontos (x,e^{x^{2}}) e (-x,e^{x^{2}}) aparecem aos pares.
  • Observação útil para a prova: expressões que dependem apenas de x^{2} (ou de potências pares de x, ou de |x|) costumam gerar funções pares.

Passo 6

Rápida verificação extra (descartando ímparidade): para ser ímpar seria necessário \,f(-x)=-f(x)\,, ou seja e^{x^{2}}=-e^{x^{2}}, o que implicaria 2e^{x^{2}}=0 — impossível. Logo, não é ímpar.

Resposta

A função f(x)=e^{x^{2}} é par — simetria em relação ao eixo y.

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