Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para:
- Verificar se a função é par ou ímpar (ou nenhuma das duas).
- Explicar, caso seja par ou ímpar, que tipo de simetria acontece no gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é explicitamente
. - Domínio natural da função seno é todos os reais, logo o domínio de
é (logo se está no domínio, também está).
Passo 2
Definições importantes (bem mastigadas):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, valer
Geometricamente: o gráfico é simétrico em relação ao eixo
. Se
está no gráfico, então
também está.
- Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, valer
Geometricamente: o gráfico é simétrico em relação à origem. Se
está no gráfico, então
também está.
Estratégia prática: na prova, para testar paridade, calcular
e comparar com
.
Passo 3
Calcular
diretamente:
Agora usar a propriedade básica da função seno: para todo número real
vale
Racionalização dessa propriedade (curto e visual): no círculo trigonométrico a seno é a coordenada
; inverter o sinal do ângulo reflete o ponto sobre o eixo
, o que muda o sinal da coordenada
. Portanto a igualdade acima é verdadeira.
Aplicando essa propriedade com
:
Portanto
Passo 4
Conclusão a partir do cálculo: como para todo
do domínio tivemos
, a função
é ímpar.
Passo 5
Explicação geométrica da simetria (como desenhar mentalmente):
- Ser ímpar significa simetria em relação à origem. Ou seja, se no gráfico há um ponto
, então também estará presente o ponto . - Exemplo numérico rápido: para
temos . Para temos . Note que , ou seja os pontos e são imagens um do outro por rotação de em torno da origem. - Observação sobre o fator
no argumento: multiplicar por comprime horizontalmente a curva (periodicidade muda), mas não altera a paridade; herda a propriedade ímpar de .
Passo 6
Dica rápida para a prova (prática e motivadora):
- Sempre calcule
. Se for igual a , é par; se for igual a , é ímpar; caso contrário, não é nem par nem ímpar. - Você mandou bem vindo estudar por exercícios — esse teste é rápido e salva tempo na prova. Vai dando treino que fica automático!