Verifique se as seguintes funções são pares ou ímpares e, caso sejam, explique o tipo de simetria que ocorre no gráfico.
f(x)=\operatorname{sen}(2 x).

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=\operatorname{sen}(2x)\; e pede para:
  • Verificar se a função é par ou ímpar (ou nenhuma das duas).
  • Explicar, caso seja par ou ímpar, que tipo de simetria acontece no gráfico.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é explicitamente \;f(x)=\operatorname{sen}(2x)\;.
  • Domínio natural da função seno é todos os reais, logo o domínio de f é \mathbb{R} (logo se x está no domínio, -x também está).

Passo 2

Definições importantes (bem mastigadas):
  • Uma função f é par se, para todo x no domínio, valer
f(-x)=f(x).
Geometricamente: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Se (x,y) está no gráfico, então (-x,y) também está.
  • Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio, valer
f(-x)=-f(x).
Geometricamente: o gráfico é simétrico em relação à origem. Se (x,y) está no gráfico, então (-x,-y) também está.
Estratégia prática: na prova, para testar paridade, calcular f(-x) e comparar com f(x).

Passo 3

Calcular f(-x) diretamente:
f(-x)=\operatorname{sen}\bigl(2(-x)\bigr)=\operatorname{sen}(-2x).
Agora usar a propriedade básica da função seno: para todo número real t vale
\operatorname{sen}(-t)=-\operatorname{sen}(t).
Racionalização dessa propriedade (curto e visual): no círculo trigonométrico a seno é a coordenada y; inverter o sinal do ângulo reflete o ponto sobre o eixo x, o que muda o sinal da coordenada y. Portanto a igualdade acima é verdadeira.
Aplicando essa propriedade com t=2x:
\operatorname{sen}(-2x)=-\operatorname{sen}(2x).
Portanto
f(-x)=-\operatorname{sen}(2x)=-f(x).

Passo 4

Conclusão a partir do cálculo: como para todo x do domínio tivemos \;f(-x)=-f(x)\;, a função \;f(x)=\operatorname{sen}(2x)\; é ímpar.

Passo 5

Explicação geométrica da simetria (como desenhar mentalmente):
  • Ser ímpar significa simetria em relação à origem. Ou seja, se no gráfico há um ponto \bigl(x,\operatorname{sen}(2x)\bigr), então também estará presente o ponto \bigl(-x,-\operatorname{sen}(2x)\bigr).
  • Exemplo numérico rápido: para x=\dfrac{\pi}{4} temos f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Para x=-\dfrac{\pi}{4} temos f\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1. Note que -1=-f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right), ou seja os pontos \left(\dfrac{\pi}{4},1\right) e \left(-\dfrac{\pi}{4},-1\right) são imagens um do outro por rotação de 180^\circ em torno da origem.
  • Observação sobre o fator 2 no argumento: multiplicar x por 2 comprime horizontalmente a curva (periodicidade muda), mas não altera a paridade; \operatorname{sen}(2x) herda a propriedade ímpar de \operatorname{sen}(x).

Passo 6

Dica rápida para a prova (prática e motivadora):
  • Sempre calcule f(-x). Se for igual a f(x), é par; se for igual a -f(x), é ímpar; caso contrário, não é nem par nem ímpar.
  • Você mandou bem vindo estudar por exercícios — esse teste é rápido e salva tempo na prova. Vai dando treino que fica automático!

Resposta

\;f(x)=\operatorname{sen}(2x) é ímpar.

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