Encontre f \circ g, g \circ f, f \circ f e g \circ g e seus respectivos domínios para as seguintes funções.
f(x)=x^{2}-1 e g(x)=x-1.

Passo 1

O enunciado pede quatro composições de funções e os respectivos domínios:
  • Encontrar f\circ g e o seu domínio.
  • Encontrar g\circ f e o seu domínio.
  • Encontrar f\circ f e o seu domínio.
  • Encontrar g\circ g e o seu domínio.
As funções dadas são:
  • f(x)=x^{2}-1.
  • g(x)=x-1.
Informações relevantes fornecidas: ambas são expressões polinomiais (um quadrático e um linear).

Passo 2

Definição e regra de domínio para composição (explicação didática):
  • A composição (f\circ g)(x) significa primeiro aplicar g em x e depois aplicar f no resultado. Em símbolos: (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
  • Regra de domínio: o domínio de f\circ g é o conjunto de todos os x que pertencem ao domínio de g e que fazem com que g(x) pertença ao domínio de f. Em notação:
\operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
  • Observação útil: polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}, ou seja, o domínio de f e de g é \mathbb{R}. Isso simplifica porque então qualquer composição entre eles também terá domínio \mathbb{R}, já que para todo x\in\mathbb{R} temos g(x)\in\mathbb{R} e f(\text{qualquer real}) está definido.

Passo 3

Cálculo de f\circ g:
  • Primeiro calcule g(x): g(x)=x-1.
  • Agora aplique f em g(x). Como f(u)=u^{2}-1 para uma variável genérica u, substitui-se u=g(x)=x-1:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=(x-1)^{2}-1.
  • Expandindo passo a passo:
(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1,
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(x-1)^{2}-1=x^{2}-2x+1-1=x^{2}-2x.
  • Domínio: como explicado no Passo 2, f e g têm domínio \mathbb{R}, então
\operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 4

Cálculo de g\circ f:
  • Primeiro calcule f(x)=x^{2}-1.
  • Aplique g em f(x). Como g(u)=u-1, com u=f(x):
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=(x^{2}-1)-1.
  • Simplificando:
(x^{2}-1)-1=x^{2}-2.
  • Domínio: novamente, f e g são definidos em \mathbb{R}, então
\operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 5

Cálculo de f\circ f:
  • Primeiro f(x)=x^{2}-1.
  • Aplique f sobre f(x): usando f(u)=u^{2}-1 com u=f(x)=x^{2}-1,
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=(x^{2}-1)^{2}-1.
  • Expandindo passo a passo:
(x^{2}-1)^{2}=(x^{2})^{2}-2\cdot x^{2}\cdot 1 +1 = x^{4}-2x^{2}+1,
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(x^{2}-1)^{2}-1 = x^{4}-2x^{2}+1-1 = x^{4}-2x^{2}.
  • Domínio: polinômio, portanto
\operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}.

Passo 6

Cálculo de g\circ g:
  • Primeiro g(x)=x-1.
  • Aplique g sobre g(x): com g(u)=u-1 e u=g(x)=x-1,
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=(x-1)-1.
  • Simplificando:
(x-1)-1=x-2.
  • Domínio: polinômio linear, portanto
\operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x^{2}-2x,\\ \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}
(g\circ f)(x)=x^{2}-2,\\ \operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}
(f\circ f)(x)=x^{4}-2x^{2},\\ \operatorname{dom}(f\circ f)=\mathbb{R}
(g\circ g)(x)=x-2,\\ \operatorname{dom}(g\circ g)=\mathbb{R}

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