Encontre
e
e seus respectivos domínios para as seguintes funções.
e
.
Passo 1
O enunciado pede quatro composições de funções e os respectivos domínios:
- Encontrar
e o seu domínio. - Encontrar
e o seu domínio. - Encontrar
e o seu domínio. - Encontrar
e o seu domínio.
As funções dadas são:
-
. -
.
Informações relevantes fornecidas: ambas são expressões polinomiais (um quadrático e um linear).
Passo 2
Definição e regra de domínio para composição (explicação didática):
- A composição
significa primeiro aplicar em e depois aplicar no resultado. Em símbolos: . - Regra de domínio: o domínio de
é o conjunto de todos os que pertencem ao domínio de e que fazem com que pertença ao domínio de . Em notação:
- Observação útil: polinômios estão definidos para todo
, ou seja, o domínio de e de é . Isso simplifica porque então qualquer composição entre eles também terá domínio , já que para todo temos e está definido.
Passo 3
Cálculo de
:
- Primeiro calcule
: . - Agora aplique
em . Como para uma variável genérica , substitui-se :
- Expandindo passo a passo:
logo
- Domínio: como explicado no Passo 2,
e têm domínio , então
Passo 4
Cálculo de
:
- Primeiro calcule
. - Aplique
em . Como , com :
- Simplificando:
- Domínio: novamente,
e são definidos em , então
Passo 5
Cálculo de
:
- Primeiro
. - Aplique
sobre : usando com ,
- Expandindo passo a passo:
logo
- Domínio: polinômio, portanto
Passo 6
Cálculo de
:
- Primeiro
. - Aplique
sobre : com e ,
- Simplificando:
- Domínio: polinômio linear, portanto