Calcule L\{f(t)\} onde:
f(t)=e^{3 t} t^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=e^{3t}\,t^{2}.
O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no domínio de s, além da fórmula básica \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt.

Passo 3

Aplicando essa definição a f(t)=e^{3t}t^{2} temos
\mathcal{L}\{e^{3t}t^{2}\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,e^{3t}\,t^{2}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-3)t}\,t^{2}\,dt.
Note que isso equivale à transformada de t^{2} com s substituído por s-3.

Passo 4

Sabemos que
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s) =\frac{2!}{s^{3}} =\frac{2}{s^{3}}.

Passo 5

Pelo deslocamento no domínio de s (ou seja, substituir s por s-3), obtemos
\mathcal{L}\{e^{3t}t^{2}\}(s) =\frac{2}{(s-3)^{3}},
válido para \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{3t}t^{2}\}(s) =\frac{2}{(s-3)^{3}},\quad \Re(s)>3.

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