Calcule f(t) onde: L^{-1}\left\{\frac{s+1}{\left(s^{2}-4 s\right)(s+5)}\right\} Passo 1O enunciado pede para calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+1}{\bigl(s^2-4s\bigr)(s+5)}\Bigr\}. O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para tornar a transformada inversa direta, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}. Passo 2Observe que (s^2-4s)(s+5)=s(s-4)(s+5), logo podemos escrever \frac{s+1}{s(s-4)(s+5)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-4}+\frac{C}{s+5}. Passo 3Multiplicando ambos os lados por s(s-4)(s+5), obtemos s+1=A(s-4)(s+5)+B\,s(s+5)+C\,s(s-4). Expandindo e coletando termos em s^2, s e constante gera o sistema \begin{cases} A+B+C=0,\\\ A+5B-4C=1,\\\\ -20A=1. \end{cases} Passo 4Da terceira equação vem A=-\frac1{20}. Substituindo em A+B+C=0 dá B+C=1/20, e em A+5B-4C=1 dá 5B-4C=1+\tfrac1{20}=\tfrac{21}{20}. Resolvendo este par para B e C resulta B=\frac{5}{36}, \quad C=-\frac{4}{45}. Passo 5Assim a fração original é \frac{s+1}{s(s-4)(s+5)} =-\frac{1}{20}\,\frac1s +\frac{5}{36}\,\frac1{s-4} -\frac{4}{45}\,\frac1{s+5}. Passo 6Aplicando a transformada inversa em cada termo: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1s\}=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-4}\}=e^{4t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+5}\}=e^{-5t}. Resposta f(t)=-\frac{1}{20}+\frac{5}{36}e^{4t}-\frac{4}{45}e^{-5t}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule f(t) onde: L^{-1}\left\{\frac{2 s+4}{(s-2)\left(s^{2}+4 s+3\right)}\right\} Calcule L\{f(t)\} onde: f(t)=e^{3 t} t^{2} Calcule f(t) onde: L^{-1}\left\{\frac{s-1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\right\} Calcule f(t) onde: L^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s^{2}+1\right)\left(s^{2}+4\right)}\right\}