Calcule f(t) onde:
L^{-1}\left\{\frac{s+1}{\left(s^{2}-4 s\right)(s+5)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s+1}{\bigl(s^2-4s\bigr)(s+5)}\Bigr\}.
O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para tornar a transformada inversa direta, lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/(s-a)\}=e^{at}.

Passo 2

Observe que
(s^2-4s)(s+5)=s(s-4)(s+5),
logo podemos escrever
\frac{s+1}{s(s-4)(s+5)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s-4}+\frac{C}{s+5}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s-4)(s+5), obtemos
s+1=A(s-4)(s+5)+B\,s(s+5)+C\,s(s-4).
Expandindo e coletando termos em s^2, s e constante gera o sistema
\begin{cases} A+B+C=0,\\\ A+5B-4C=1,\\\\ -20A=1. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação vem
A=-\frac1{20}.
Substituindo em A+B+C=0 B+C=1/20, e em A+5B-4C=1
5B-4C=1+\tfrac1{20}=\tfrac{21}{20}.
Resolvendo este par para B e C resulta
B=\frac{5}{36}, \quad C=-\frac{4}{45}.

Passo 5

Assim a fração original é
\frac{s+1}{s(s-4)(s+5)} =-\frac{1}{20}\,\frac1s +\frac{5}{36}\,\frac1{s-4} -\frac{4}{45}\,\frac1{s+5}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1s\}=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s-4}\}=e^{4t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+5}\}=e^{-5t}.

Resposta

f(t)=-\frac{1}{20}+\frac{5}{36}e^{4t}-\frac{4}{45}e^{-5t}.

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