Calcule f(t) onde:
L^{-1}\left\{\frac{2 s+4}{(s-2)\left(s^{2}+4 s+3\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede f(t)=\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\frac{2s+4}{(s-2)(s^2+4s+3)}\bigr\}.
Conteúdo: transformada inversa de Laplace usando frações parciais. Vamos fatorar o denominador, fazer a decomposição e aplicar transformadas conhecidas.

Passo 2

Fatoramos o polinômio quadrático do denominador:
s^2 + 4s + 3 = (s+1)(s+3).
Então
\frac{2s+4}{(s-2)(s^2+4s+3)} = \frac{2s+4}{(s-2)(s+1)(s+3)}.

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais:
\frac{2s+4}{(s-2)(s+1)(s+3)} = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{s+1} + \frac{C}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+1)(s+3), obtemos
2s+4 = A\,(s+1)(s+3) + B\,(s-2)(s+3) + C\,(s-2)(s+1).

Passo 4

Usamos o método “cover-up” avaliando em s=2,-1,-3:
  • Para s=2: 2\cdot2+4=8 = A\,(2+1)(2+3)=15A A=\tfrac{8}{15}.
  • Para s=-1: 2(-1)+4=2 = B\,(-1-2)(-1+3)=B\cdot(-3)\cdot2=-6B B=-\tfrac{1}{3}.
  • Para s=-3: 2(-3)+4=-2 = C\,(-3-2)(-3+1)=C\cdot(-5)\cdot(-2)=10C C=-\tfrac{1}{5}.

Passo 5

Reescrevendo a função em s:
\frac{2s+4}{(s-2)(s+1)(s+3)} = \frac{8/15}{s-2} - \frac{1/3}{s+1} - \frac{1/5}{s+3}.
Aplicando a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos
f(t) = \frac{8}{15}e^{2t} - \frac{1}{3}e^{-t} - \frac{1}{5}e^{-3t}.

Resposta

f(t) = \frac{8}{15}e^{2t} - \frac{1}{3}e^{-t} - \frac{1}{5}e^{-3t}.

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