Calcule f(t) onde:
L^{-1}\left\{\frac{1}{\left(s^{2}+1\right)\left(s^{2}+4\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede f(t)=\mathcal L^{-1}\bigl\{\tfrac{1}{(s^2+1)(s^2+4)}\bigr\}. O conteúdo principal é usar frações parciais para decompor a função em termos cujas transformadas inversas são conhecidas.

Passo 2

Para decompor, escrevemos
\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{Cs+D}{s^2+4}.
Como o numerador original é uma função par em s, os termos ímpares devem se anular, isto é, A=0 e C=0. Restam
\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{B}{s^2+1}+\frac{D}{s^2+4}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s^2+1)(s^2+4)\) obtém-se \[B(s^2+4)+D(s^2+1)=1.
Agrupando termos em s^2:
(B+D)\,s^2+(4B+D)=1.
Igualando coeficientes dos polinômios dá o sistema
\begin{cases} B+D=0,\\\\ 4B+D=1, \end{cases}
cuja solução é B=\tfrac13\] e \(D=-\tfrac13.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa em cada parcela:
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^2+1}\Bigr\}=\sin(t), \quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^2+4}\Bigr\}=\frac{1}{2}\,\sin(2t).
Portanto,
f(t) =B\,\sin(t)+D\;\frac{1}{2}\sin(2t) =\frac{1}{3}\sin(t)-\frac{1}{6}\sin(2t).

Resposta

f(t)=\frac{1}{3}\,\sin(t)\;-\;\frac{1}{6}\,\sin(2t).

Exercícios relacionados