Calcule f(t) onde:
L^{-1}\left\{\frac{s-1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{s-1}{s^{2}(s^{2}+1)}\biggr\}.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e uso de transformadas inversas conhecidas: \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^2\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+1)\}=\cos t e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s-1}{s^{2}(s^{2}+1)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s^{2}+1)\), obtemos \[s-1 = A\,s\,(s^{2}+1) + B\,(s^{2}+1) + (Cs+D)\,s^{2}.
Expandindo e agrupando potências de s:
s-1 = (A+C)\,s^{3} + (B+D)\,s^{2} + A\,s + B.
Comparando coeficientes em ambos os lados:
\begin{cases} A + C = 0,\\\ B + D = 0,\\\ A = 1,\\\ B = -1. \end{cases}
Logo A=1\], \(B=-1, C=-1 e D=1. Assim
\frac{s-1}{s^{2}(s^{2}+1)} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}+\frac{-s+1}{s^{2}+1}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa em cada termo:
f(t) =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\} -\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}}\Bigr\} +\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{-s}{s^{2}+1}\Bigr\} +\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr\}.
Usando as transformadas conhecidas: \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1, \mathcal{L}^{-1}\{1/s^2\}=t, \mathcal{L}^{-1}\{-s/(s^2+1)\}=-\cos t e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t.

Resposta

f(t)=1 - t - \cos t + \sin t.

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