Questão 4. Determine uma curva \gamma(t), t \in \mathrm{I} e \gamma^{\prime} seja ortogonal a \vec{F}(\gamma(t)), onde \vec{F}(x, y)=y \vec{i}+\left(x-y^{2}\right) \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que a derivada \gamma'(t) seja ortogonal ao campo \vec F(x,y)=y\,\vec i+(x-y^2)\,\vec j.
Iremos traduzir a condição de ortogonalidade em uma equação diferencial para x e y.

Passo 2

A condição \gamma'(t) \cdot \vec F(\gamma(t))=0 fica
x'(t)\,y(t)+y'(t)\bigl(x(t)-y(t)^2\bigr)=0.
Se x'(t)\neq0, podemos escrever
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)} =-\frac{y}{\,x-y^2\,}.

Passo 3

Invertemos para obter uma equação em x como função de y:
\frac{dx}{dy}=-\frac{x-y^2}{y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dy}+\frac{1}{y}\,x = y.
Trata-se de uma EDO linear de coeficiente variável.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(y)=e^{\int \frac{1}{y}\,dy}=y.
Multiplicando a equação por \mu(y) obtém-se
\frac{d}{dy}\bigl(y\,x(y)\bigr)=y^2.
Integrando em y:
y\,x(y)=\frac{y^3}{3}+C \quad\Longrightarrow\quad x(y)=\frac{y^2}{3}+\frac{C}{y},
onde C é constante de integração.

Passo 5

Para parametrizar podemos tomar y=t. Assim surge a família de curvas
\gamma(t) =\bigl(x(t),y(t)\bigr) =\Bigl(\frac{t^2}{3}+\frac{C}{t},\,t\Bigr), \quad t\in I,\\ t\neq0.
No caso particular C=0, \gamma(t)=(\tfrac{t^2}{3},\,t)
também satisfaz \gamma'(t)\cdot\vec F(\gamma(t))=0.

Resposta

\boxed{\gamma(t)=\Bigl(\frac{t^2}{3}+\frac{C}{t},\,t\Bigr), \quad C\in\mathbb R,\\ t\neq0.}

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