Questão 4. Determine uma curva
e
seja ortogonal a
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede uma curva
tal que a derivada
seja ortogonal ao campo
.
Iremos traduzir a condição de ortogonalidade em uma equação diferencial para e
.
Iremos traduzir a condição de ortogonalidade em uma equação diferencial para
Passo 2
A condição
fica
Se
, podemos escrever
Passo 3
Invertemos para obter uma equação em
como função de
:
Trata-se de uma EDO linear de coeficiente variável.
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtém-se
Integrando em
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Para parametrizar podemos tomar
. Assim surge a família de curvas
No caso particular
,
também satisfaz .
também satisfaz