Calcule f(x).
(c) f(x)=\pi^{x}

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=\pi^{x} e pede: "Calcule f(x)". Há uma ambiguidade — se o enunciado realmente pede apenas escrever a função, isso já está dado. Em exercícios típicos que vêm em listas com letras (a), (b), (c) o objetivo costuma ser calcular a derivada. Vou seguir essa interpretação razoável: vamos calcular a derivada de f, ou seja, f'(x). Se sua prova pedir outra coisa, me avisa depois que eu ajusto.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=\pi^{x}\,.
  • \pi é uma constante positiva (aproximadamente 3,1415\ldots).

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  1. Reescrever potências com base qualquer usando o exponencial natural. Para qualquer base positiva a>0 e qualquer número real x vale a identidade
a^{x} = e^{x\ln a}.
Aqui \ln a é o logaritmo natural de a (uma constante), e e^{\cdot} é a função exponencial natural. Essa reescrita é útil porque a derivada da exponencial natural tem uma regra simples. Exemplo concreto: 2^{x}=e^{x\ln 2}.
  1. Regra da cadeia (explicada com calma): se você tem uma função composta g(x)=h(u(x)), a derivada é
g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Ou seja, derivamos a função externa mantendo a interna, e multiplicamos pela derivada da função interna.
  1. Derivada da exponencial natural: para H(x)=e^{u(x)}, com u(x) diferenciável, temos
H'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isso é consequência direta da regra da cadeia com h(t)=e^{t} (cuja derivada é e^{t}).
Com essas três ideias, podemos derivar qualquer função do tipo a^{x}.

Passo 3

Aplicando a reescrita para a nossa função:
f(x)=\pi^{x}=e^{x\ln\pi}.
Aqui u(x)=x\ln\pi é a função interna; note que \ln\pi é uma constante.

Passo 4

Agora derivamos usando a regra da cadeia para e^{u(x)}. Primeiro calcule a derivada da interna:
u(x)=x\ln\pi \quad\Rightarrow\quad u'(x)=\ln\pi,
porque a derivada de x é 1 e \ln\pi é constante. Em seguida, a derivada da exponencial é:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x\ln\pi}\big)=e^{x\ln\pi}\cdot u'(x)=e^{x\ln\pi}\cdot\ln\pi.

Passo 5

Volte para a expressão na base \pi. Como e^{x\ln\pi}=\pi^{x}, obtemos a forma final mais simples:
f'(x)=\pi^{x}\ln\pi.

Passo 6

Comentário prático e exemplos (para fixar):
  • Se a base fosse e (ou seja, f(x)=e^{x}), então \ln e=1 e a regra dá f'(x)=e^{x}, que é bem conhecida.
  • Para f(x)=2^{x} teríamos f'(x)=2^{x}\ln 2.
  • Ordem superior das derivadas: a segunda derivada aqui seria f''(x)=\pi^{x}(\ln\pi)^{2} — repare o padrão: cada derivada traz outro fator \ln\pi.

Resposta

f'(x)=\pi^{x}\ln\pi

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