Calcule
.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pede: "Calcule
". Há uma ambiguidade — se o enunciado realmente pede apenas escrever a função, isso já está dado. Em exercícios típicos que vêm em listas com letras (a), (b), (c) o objetivo costuma ser calcular a derivada. Vou seguir essa interpretação razoável: vamos calcular a derivada de
, ou seja,
. Se sua prova pedir outra coisa, me avisa depois que eu ajusto.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. -
é uma constante positiva (aproximadamente ).
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- Reescrever potências com base qualquer usando o exponencial natural. Para qualquer base positiva
e qualquer número real vale a identidade
Aqui
é o logaritmo natural de
(uma constante), e
é a função exponencial natural. Essa reescrita é útil porque a derivada da exponencial natural tem uma regra simples. Exemplo concreto:
.
- Regra da cadeia (explicada com calma): se você tem uma função composta
, a derivada é
Ou seja, derivamos a função externa mantendo a interna, e multiplicamos pela derivada da função interna.
- Derivada da exponencial natural: para
, com diferenciável, temos
Isso é consequência direta da regra da cadeia com
(cuja derivada é
).
Com essas três ideias, podemos derivar qualquer função do tipo
.
Passo 3
Aplicando a reescrita para a nossa função:
Aqui
é a função interna; note que
é uma constante.
Passo 4
Agora derivamos usando a regra da cadeia para
. Primeiro calcule a derivada da interna:
porque a derivada de
é
e
é constante. Em seguida, a derivada da exponencial é:
Passo 5
Volte para a expressão na base
. Como
, obtemos a forma final mais simples:
Passo 6
Comentário prático e exemplos (para fixar):
- Se a base fosse
(ou seja, ), então e a regra dá , que é bem conhecida. - Para
teríamos . - Ordem superior das derivadas: a segunda derivada aqui seria
— repare o padrão: cada derivada traz outro fator .