Calcule f(x), pela definição.
(g) f(x)=\frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f usando a definição. A função dada é
f(x)=\frac{x}{x+1}.
Informações relevantes: a expressão de f(x) e que devemos usar a definição (limite do quociente incremental). Note que f não está definida em x=-1 porque dá divisão por zero.

Passo 2

Vamos recordar a definição de derivada que vamos aplicar. A derivada de f em um ponto x é, por definição,
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h representa um pequeno incremento na variável x. Na prova você sempre monta esse quociente \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, simplifica algebricamente cancelando fatores h quando possível (lembrando que para o quociente inicial h\neq0), e só então faz o limite h\to0.

Passo 3

Calculo de f(x+h). Substituindo x por x+h em f,
f(x+h)=\frac{x+h}{x+h+1}.

Passo 4

Formo o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{x+h}{x+h+1}-\dfrac{x}{x+1}}{h}.
Agora vou combinar as duas frações do numerador num único denominador comum (x+h+1)(x+1). Escrevendo o numerador com denominador comum:
\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}=\frac{(x+h)(x+1)-x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}.

Passo 5

Desenvolvo e simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandindo:
(x+h)(x+1)=x^2+x+hx+h,
x(x+h+1)=x^2+xh+x.
Subtraindo as duas expressões:
(x+h)(x+1)-x(x+h+1)=(x^2+x+hx+h)-(x^2+xh+x).
Agora cancelei termos iguais: x^2 com x^2, hx com xh (mesmo termo), e x com -x. Sobra apenas
(x+h)(x+1)-x(x+h+1)=h.
Portanto o numerador inteiro do quociente incremental é h, e assim
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h}\cdot\frac{h}{(x+h+1)(x+1)}=\frac{1}{(x+h+1)(x+1)},
válido para h\neq0.

Passo 6

Agora faço o limite quando h\to0. Substituindo h\to0 na expressão simplificada obtemos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{(x+h+1)(x+1)}=\frac{1}{(x+1)(x+1)}=\frac{1}{(x+1)^2},
lembrando que isso só vale quando x\neq -1 (pois f não é definida em x=-1).

Passo 7

Comentário final rápido (útil para a prova): a técnica-chave foi escrever f(x+h), juntar as frações com denominador comum, expandir e observar que o numerador ficou exatamente h, permitindo cancelar com o h do quociente. Essa manobra — obter um fator h no numerador — é muito comum em derivadas pela definição. Se preferir, neste caso também dá para usar a regra do quociente e obter o mesmo resultado mais rapidamente, mas como o enunciado pede “pela definição” fiz todo o limite.

Resposta

\;f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2} para \;x\neq -1

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