Calcule
, pela definição.
(g) f(x)=\frac{x}{x+1}
(g) f(x)=\frac{x}{x+1}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
usando a definição. A função dada é
Informações relevantes: a expressão de
e que devemos usar a definição (limite do quociente incremental). Note que
não está definida em
porque dá divisão por zero.
Passo 2
Vamos recordar a definição de derivada que vamos aplicar. A derivada de
em um ponto
é, por definição,
Aqui
representa um pequeno incremento na variável
. Na prova você sempre monta esse quociente
, simplifica algebricamente cancelando fatores
quando possível (lembrando que para o quociente inicial
), e só então faz o limite
.
Passo 3
Calculo de
. Substituindo
por
em
,
Passo 4
Formo o quociente incremental:
Agora vou combinar as duas frações do numerador num único denominador comum
. Escrevendo o numerador com denominador comum:
Passo 5
Desenvolvo e simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandindo:
Subtraindo as duas expressões:
Agora cancelei termos iguais:
com
,
com
(mesmo termo), e
com
. Sobra apenas
Portanto o numerador inteiro do quociente incremental é
, e assim
válido para
.
Passo 6
Agora faço o limite quando
. Substituindo
na expressão simplificada obtemos
lembrando que isso só vale quando
(pois
não é definida em
).
Passo 7
Comentário final rápido (útil para a prova): a técnica-chave foi escrever
, juntar as frações com denominador comum, expandir e observar que o numerador ficou exatamente
, permitindo cancelar com o
do quociente. Essa manobra — obter um fator
no numerador — é muito comum em derivadas pela definição. Se preferir, neste caso também dá para usar a regra do quociente e obter o mesmo resultado mais rapidamente, mas como o enunciado pede “pela definição” fiz todo o limite.