Calcule f(x), pela definição.
(e) f(x)=5 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f pela definição (o enunciado diz “pela definição”). A função dada é
f(x)=5x.
Informações relevantes: a função é linear e precisamos usar a definição de derivada (diferença quociente) para obter f'(x). Não há mais dados necessários.

Passo 2

A definição de derivada que vamos usar é a seguinte:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando cada parte:
  • f'(x) é a derivada de f no ponto x, ou seja, a taxa de variação instantânea de f em x.
  • h é um incremento pequeno em x que tende a zero; consideramos x+h e comparamos com x.
  • A expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é a razão entre a variação de f e a variação de x; quando fazemos h\to0 obtemos a derivada.

Passo 3

Calcule f(x+h). Substituímos x+h na função f:
f(x+h)=5(x+h)=5x+5h.

Passo 4

Formamos a diferença f(x+h)-f(x). Usando f(x)=5x e o resultado anterior:
f(x+h)-f(x)=(5x+5h)-5x=5h.

Passo 5

Escrevemos o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} e simplificamos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{5h}{h}.
Para h\neq 0 podemos simplificar o h:
\frac{5h}{h}=5.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}5=5.
Como a expressão é a constante 5, o limite é 5. Isso vale para qualquer x: a derivada é constante.

Passo 7

Interpretação intuitiva breve: a função f(x)=5x é uma reta com coeficiente angular 5. A derivada em qualquer ponto é justamente esse coeficiente angular, ou seja, a inclinação da reta — faz sentido que f'(x)=5.

Resposta

f'(x)=5

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