Calcule
, pela definição.
(e) f(x)=5 x
(e) f(x)=5 x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
pela definição (o enunciado diz “pela definição”). A função dada é
Informações relevantes: a função é linear e precisamos usar a definição de derivada (diferença quociente) para obter
. Não há mais dados necessários.
Passo 2
A definição de derivada que vamos usar é a seguinte:
Explicando cada parte:
-
é a derivada de no ponto , ou seja, a taxa de variação instantânea de em . -
é um incremento pequeno em que tende a zero; consideramos e comparamos com . - A expressão
é a razão entre a variação de e a variação de ; quando fazemos obtemos a derivada.
Passo 3
Calcule
. Substituímos
na função
:
Passo 4
Formamos a diferença
. Usando
e o resultado anterior:
Passo 5
Escrevemos o quociente
e simplificamos:
Para
podemos simplificar o
:
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Como a expressão é a constante
, o limite é
. Isso vale para qualquer
: a derivada é constante.
Passo 7
Interpretação intuitiva breve: a função
é uma reta com coeficiente angular
. A derivada em qualquer ponto é justamente esse coeficiente angular, ou seja, a inclinação da reta — faz sentido que
.