Calcule f(x), pela definição.
(h) f(x)=\frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, pela definição, a derivada de uma função. A função dada é \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Informações fornecidas: a expressão de f(x) e implicitamente que devemos usar a definição de derivada (limite do quociente incremental). Não há outros dados (por exemplo, ponto específico), então vamos obter f'(x) em termos de x. Observação: a função só está definida para x\neq 0.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada e explicar bem o que cada símbolo significa. A derivada de f em um ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Significado:
  • f'(x) é a derivada de f no ponto x (a inclinação da reta tangente à curva em x).
  • h representa um pequeno incremento em x; fazemos h\to 0 para medir a variação instantânea.
  • A expressão \frac{f(x+h)-f(x)}{h} é o coeficiente angular do segmento secante que liga os pontos (x,f(x)) e (x+h,f(x+h)).
    Para aplicar, substituímos na fórmula a expressão de f.

Passo 3

Substituo \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}} na definição:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}{h}.
Agora precisamos simplificar essa fração complexa para poder calcular o limite quando h\to 0.

Passo 4

Faço o numerador sobre um denominador comum para simplificar:
\frac{1}{(x+h)^{2}}-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-(x+h)^{2}}{x^{2}(x+h)^{2}}.
Explico a expansão do termo (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Substituindo na diferença:
x^{2}-(x+h)^{2}=x^{2}-\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)=-2xh-h^{2}.
Portanto o quociente inicial fica
\frac{\dfrac{1}{(x+h)^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}{h} = \frac{-2xh-h^{2}}{h\,x^{2}(x+h)^{2}}.

Passo 5

Agora fatoro h no numerador para cancelar com o h do denominador:
-2xh-h^{2}=h(-2x-h).
Substituindo:
\frac{h(-2x-h)}{h\,x^{2}(x+h)^{2}}=\frac{-2x-h}{x^{2}(x+h)^{2}},
valendo para h\neq 0 (mas o limite considera valores de h próximos de zero, não necessariamente zero). Agora posso tomar o limite h\to 0 substituindo h=0 na expressão simplificada, desde que a expressão seja contínua naquele ponto (o que aqui é verdade para x\neq 0).

Passo 6

Faço o limite:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-2x-h}{x^{2}(x+h)^{2}}=\frac{-2x-0}{x^{2}\,x^{2}}=\frac{-2x}{x^{4}}.
Simplificando a fração:
\frac{-2x}{x^{4}}=-\frac{2}{x^{3}}.
Lembre que isso só vale para x\neq 0, porque f não está definida em x=0.

Passo 7

Resumo e verificação rápida: também podemos escrever f(x)=x^{-2} e aplicar a regra de potência \dfrac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1} para checar:
\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}},
o que confirma o resultado obtido pela definição.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{x^{3}} para x\neq 0.

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