Calcule
, pela definição.
(h) f(x)=\frac{1}{x^{2}}
(h) f(x)=\frac{1}{x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular, pela definição, a derivada de uma função. A função dada é
.
Informações fornecidas: a expressão de e implicitamente que devemos usar a definição de derivada (limite do quociente incremental). Não há outros dados (por exemplo, ponto específico), então vamos obter
em termos de
. Observação: a função só está definida para
.
Informações fornecidas: a expressão de
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada e explicar bem o que cada símbolo significa. A derivada de
em um ponto
é
Significado:
-
é a derivada de no ponto (a inclinação da reta tangente à curva em ). -
representa um pequeno incremento em ; fazemos para medir a variação instantânea. - A expressão
é o coeficiente angular do segmento secante que liga os pontos e .
Para aplicar, substituímos na fórmula a expressão de.
Passo 3
Substituo
na definição:
Agora precisamos simplificar essa fração complexa para poder calcular o limite quando
.
Passo 4
Faço o numerador sobre um denominador comum para simplificar:
Explico a expansão do termo
:
Substituindo na diferença:
Portanto o quociente inicial fica
Passo 5
Agora fatoro
no numerador para cancelar com o
do denominador:
Substituindo:
valendo para
(mas o limite considera valores de
próximos de zero, não necessariamente zero). Agora posso tomar o limite
substituindo
na expressão simplificada, desde que a expressão seja contínua naquele ponto (o que aqui é verdade para
).
Passo 6
Faço o limite:
Simplificando a fração:
Lembre que isso só vale para
, porque
não está definida em
.
Passo 7
Resumo e verificação rápida: também podemos escrever
e aplicar a regra de potência
para checar:
o que confirma o resultado obtido pela definição.