Calcule
, pela definição.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se calcule pela definição. Vou interpretar isso como: calcular a derivada de
pela definição de derivada (isto é o que normalmente se pede nesse tipo de exercício).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Domínio natural:
.
Pergunta a responder: encontrarusando a definição de derivada (limite do quociente incremental).
Passo 2
Escrever a definição de derivada que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa. A derivada de
no ponto
pela definição é
Aqui:
-
é um pequeno incremento na variável independente; -
é o quociente incremental (a razão de variação média); - o limite quando
dá a variação instantânea (derivada) se esse limite existir.
Observação importante: ao manipular a expressão dividimos por, por isso durante as contas assumimos ; só no final fazemos o limite . Também é necessário que e estejam no domínio, portanto e para pequenos isso é garantido.
Passo 3
Calcular
substituindo
por
na função:
Passo 4
Montar o quociente incremental e simplificá-lo passo a passo:
Colocar em um único quociente (somar/subtrair frações):
Então
Dividindo por
(e lembrando que
nessa etapa) simplifica:
Passo 5
Agora aplicamos o limite quando
:
Como a função
é contínua em
para
, podemos substituir
no limite:
Passo 6
Interpretação final e domínio da derivada: a derivada existe para todo
e é
Comentário didático rápido: este resultado também se obtém usando a regra da potência para
. Colocando
na fórmula
dá
, isto é
. Aqui mostramos explicitamente o cálculo pela definição (passo a passo), que é o que normalmente pedem em prova.