Calcule f(x), pela definição.
f(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{1}{x} e pede que se calcule pela definição. Vou interpretar isso como: calcular a derivada de f pela definição de derivada (isto é o que normalmente se pede nesse tipo de exercício).
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Domínio natural: x\neq0.
    Pergunta a responder: encontrar f'(x) usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).

Passo 2

Escrever a definição de derivada que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa. A derivada de f no ponto x pela definição é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • h é um pequeno incremento na variável independente;
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o quociente incremental (a razão de variação média);
  • o limite quando h\to0 dá a variação instantânea (derivada) se esse limite existir.
    Observação importante: ao manipular a expressão dividimos por h, por isso durante as contas assumimos h\neq0; só no final fazemos o limite h\to0. Também é necessário que x e x+h estejam no domínio, portanto x\neq0 e para pequenos h isso é garantido.

Passo 3

Calcular f(x+h) substituindo x por x+h na função:
f(x+h)=\frac{1}{x+h}.

Passo 4

Montar o quociente incremental e simplificá-lo passo a passo:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}.
Colocar em um único quociente (somar/subtrair frações):
\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\dfrac{-h}{x(x+h)}.
Então
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}.
Dividindo por h (e lembrando que h\neq0 nessa etapa) simplifica:
\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}=\frac{-h}{x(x+h)}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-1}{x(x+h)}.

Passo 5

Agora aplicamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}.
Como a função \dfrac{-1}{x(x+h)} é contínua em h para x\neq0, podemos substituir h=0 no limite:
f'(x)=\frac{-1}{x\cdot x}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Interpretação final e domínio da derivada: a derivada existe para todo x\neq0 e é
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}},\quad x\neq0.
Comentário didático rápido: este resultado também se obtém usando a regra da potência para f(x)=x^{n}. Colocando n=-1 na fórmula \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}, isto é -\dfrac{1}{x^{2}}. Aqui mostramos explicitamente o cálculo pela definição (passo a passo), que é o que normalmente pedem em prova.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}},\quad x\neq0

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