Calcule
sendo
Passo 1
O enunciado dá a função
. A tarefa que vou resolver (que é a inferida aqui) é calcular a derivada de
, ou seja encontrar
. Informação relevante dada:
-
. - Lembrar que
está definida somente quando .
Passo 2
Vou escolher um método prático para encontrar
. A forma mais direta é reescrever
como
e aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do poder (derivada de
). Alternativamente pode-se usar a regra do quociente com
; apresentarei também essa verificação mais adiante. Escolhi a regra da cadeia porque aqui ela dá poucas contas e é muito direta.
Passo 3
Revisando as regras que vou usar (explicando passo a passo):
- Derivada da função cosseno: a derivada de
em relação a é . Em notação: . - Isso significa que, ao ver
, ao derivar obtém-se .
- Isso significa que, ao ver
- Regra do poder para função composta: se
com constante, então Aqui é uma função de e é a derivada de em relação a . - Regra da cadeia (é o mesmo princípio usado acima): para
, .
Vou aplicar essas regras com
e
.
Passo 4
Aplicando as regras passo a passo:
- Escrevo
. - Uso a regra do poder com
e : - Substituo
: - Simplifico os sinais:
. Assim
Passo 5
Reescrevendo a expressão usando funções trigonométricas conhecidas:
- Lembrar que
e . - Então
Portanto uma forma compacta e muito usada é
Passo 6
Verificação alternativa (regra do quociente) para conferência:
- Escrever
. A regra do quociente para dá - Aqui
e . Então e . Logo
que coincide com o resultado anterior e novamente leva a
.
Passo 7
Observações finais importantes e dicas para a prova:
- O resultado vale somente onde
está definida, isto é para os tais que . Nos pontos em que a função e a derivada não existem. - Resumo rápido para decorar: se
então . Uma forma prática de lembrar é pensar e aplicar a cadeia. - Exemplo numérico rápido: para
tem-se e , logo .