Calcule f(x) sendo
f(x)=\operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sec} x. A tarefa que vou resolver (que é a inferida aqui) é calcular a derivada de f, ou seja encontrar f'(x). Informação relevante dada:
  • f(x)=\operatorname{sec} x.
  • Lembrar que \operatorname{sec} x está definida somente quando \cos x\neq0.

Passo 2

Vou escolher um método prático para encontrar f'(x). A forma mais direta é reescrever \operatorname{sec} x como (\cos x)^{-1} e aplicar a regra da cadeia combinada com a regra do poder (derivada de u(x)^n). Alternativamente pode-se usar a regra do quociente com 1/\cos x; apresentarei também essa verificação mais adiante. Escolhi a regra da cadeia porque aqui ela dá poucas contas e é muito direta.

Passo 3

Revisando as regras que vou usar (explicando passo a passo):
  • Derivada da função cosseno: a derivada de \cos x em relação a x é -\sin x. Em notação: \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x.
    • Isso significa que, ao ver \cos x, ao derivar obtém-se -\sin x.
  • Regra do poder para função composta: se g(x)=\big(u(x)\big)^n com n constante, então g'(x)=n\big(u(x)\big)^{n-1}\cdot u'(x).Aqui u(x) é uma função de x e u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • Regra da cadeia (é o mesmo princípio usado acima): para h(x)=H\big(u(x)\big), h'(x)=H'(u(x))\cdot u'(x).
Vou aplicar essas regras com u(x)=\cos x e n=-1.

Passo 4

Aplicando as regras passo a passo:
  • Escrevo f(x)=\operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1}.
  • Uso a regra do poder com n=-1 e u(x)=\cos x: f'(x) = -1\cdot\big(\cos x\big)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}\big(\cos x\big).
  • Substituo \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x: f'(x) = -1\cdot\big(\cos x\big)^{-2}\cdot(-\sin x).
  • Simplifico os sinais: -1\cdot(-\sin x)=\sin x. Assim f'(x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}.

Passo 5

Reescrevendo a expressão usando funções trigonométricas conhecidas:
  • Lembrar que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • Então \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{sec} x\cdot\tan x.
Portanto uma forma compacta e muito usada é
f'(x)=\operatorname{sec} x\,\tan x.

Passo 6

Verificação alternativa (regra do quociente) para conferência:
  • Escrever f(x)=\dfrac{1}{\cos x}. A regra do quociente para u/v \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
  • Aqui u(x)=1 e v(x)=\cos x. Então u'=0 e v'=-\sin x. Logo f'(x)=\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}=\frac{\sin x}{\cos^2 x},
que coincide com o resultado anterior e novamente leva a f'(x)=\operatorname{sec} x\,\tan x.

Passo 7

Observações finais importantes e dicas para a prova:
  • O resultado vale somente onde \operatorname{sec} x está definida, isto é para os x tais que \cos x\neq0. Nos pontos em que \cos x=0 a função e a derivada não existem.
  • Resumo rápido para decorar: se f(x)=\operatorname{sec} x então f'(x)=\operatorname{sec} x\,\tan x. Uma forma prática de lembrar é pensar \operatorname{sec} x=(\cos x)^{-1} e aplicar a cadeia.
  • Exemplo numérico rápido: para x=\dfrac{\pi}{4} tem-se \operatorname{sec}\!\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2} e \tan\!\dfrac{\pi}{4}=1, logo f'\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\sqrt{2}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec} x\\ \tan x

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